1(北京理)设{an}是公比为q的等比数列,则"q1"是"{an}"为递增数列的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
2(大纲理)等比数列{an}中,a4A.6 B.5 C.4 D.3 3(全国文)等差数列?2,a5?5,则数列{lgan}的前8项和等于( )
?an?的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则?an?的前n项和sn=n?n?1?2(D)
(A) n?n?1? (B)n?n?1? (C)n?n?1?2
4(重庆理)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( )
A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列
5(重庆文)在等差数列{an}中,a1?2,a3?a5?10,则a7?( )
A.5 B.8 C.10 D.14
6(大纲文)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2A.31 B.32 C.63 D.64 ?3,S4?15,则S6?( )
2014年大学联考数列试题汇编—填空题
1(广东文) 等比数列= .?an?的各项均为正数且a1a5?4,log2a1?log2a2?log2a3?log2a4?log2a51?a?a1?an
2(全国文)数列n满足n?1=
3(北京理)若等差数列项和最大.
4(天津理)设,a2=2,则a1=_________.?an?满足a7?a8?a9?0,a7?a10?0,则当n?________时?an?的前n{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为__________.
5(江西文)在等差数列?an?中,a1?7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n?8时Sn取最大值,则d的取值范围_________.
20xx年大学联考数列试题汇编—解答题(1)
1(重庆文)已知?an?是首相为1,公差为2的等差数列,Sn表示?an?的前n项和.(I)求an及Sn;(II)设?bn?是首相为2的等比数列,公比q满足q2??a4?1?q?S4?0,求?bn?的通项公式及其前n项和Tn.
2 (山东文)在等差数列{an}中,已知公差a1?2,a2是a1与a4的等比中项.(I)求数列(II)设bn?an(n?1),记Tn??b1?b2?b3?b4?…?(?1)nbn,求Tn. {an}的通项公式;
2
3. (大纲理)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1?10,a2为整数,且Sn?S4. (1)求{an}的通项公式;(2)设bn?
4(大纲文)数列{an}满足a1?2,a2?2,an?2?2an?1?an?2.(1)设bn?an?1?an,证明(2)求{an}的通项公式. {bn}是等差数列;1,求数列{bn}的前n项和Tn. anan?1
20xx年大学联考数列试题汇编—解答题(2)
1(课标文)已知?an?是递增的等差数列,a2,a4是方程x?5x?6?0的根。
2(I)求?an?的通项公式;(II)求数列??an?的前n项和. n?2??
2(北京文)已知?an?是等差数列,满足a1?3,a4?12,数列?bn?满足b1?4,b4?20,且?bn?an?是等比数列.(1)求数列?an?和?bn?的通项公式;(2)求数列?bn?的前n项和.
3、(江西理)已知首项都是1的两个数列.(1)令求数列的前n项和.,求数列(的通项公式;(2)若满足3n2?n,n?N?.(1)求数列?an?的通项公式;
4(江西文)已知数列?an?的前n项和Sn? 2(2) 证明:对任意n?1,都有m?N,使得a1,an,am成等比数列.?
5(四川理)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)?2的图象上(n?N*)。(1)若a1??2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;(2)若xa1?1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2?前n项和Tn。a1,求数列{n}的ln2bn
20xx年大学联考数列试题汇编—解答题(3)
1、(四川文) 设等差数列{an}的公差为d,点(an,b)(n?N)。 n在函数f(x)?2的图象上(Ⅰ)证明:数列{bn}为等比数列;(Ⅱ)若a1?1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2?
2.(广东理)设数列?an?的前n和为Sn,满足Sn?2nan?1?3n?4n,n?N,且S3?15, (1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列?an?的通项公式。
2
*
x
?
12,求数列{anbn}的前n项和Sn。 ln2
3. (广东文)设各项为正数的数列?an?的前n和为Sn,且Sn满足2?(n2?n?3)Sn?3(n2?n)?0,n?N*(1)求a1的`值;(2)求数列?an?的通项公式; (3)证明:对一切正整数n,有
11??a1(a1?1)a2(a2?1)?
11?an(an?1)3
4(湖北理)已知等差数列通项公式.(2)记为数列满足:=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列的前n项和,是否存在正整数n,使得的若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.
5.(新课标理)已知数列?an?满足a1=1,an?1?3an?1.(Ⅰ)证明an?是等比数列,?2?并求?an?的通项公式;(Ⅱ)证明:??…+?.12n
第二篇:《20xx数列理科大学联考题答案》
1、[2014·福建卷] 等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于( C )
A.8 B.10 C.12 D.14
2、[2014·辽宁卷] 设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列,则( C)
A.d<0 d="">0 C.a1d<0 a1d="">0
3、[2014·全国卷] 等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前8项和等于( C )
A.6 B.5 C.4 D.3
4、[2014·重庆卷] 对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(D )
A.a1,a3,a9成等比数列
B.a2,a3,a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9,成等比数列
5、[2014·安徽卷] 数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=___1__.
6、[2014·北京卷] 若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=___8___时,{an}的前n项和最大.
7、[2014·天津卷] 设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为__-2.
8、[2014·广东卷] 若等比数列{an}的各项均为正数,且1a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=___50__.
9、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.
(1)令cn={cn}的通项公式; (2)若bn=3n-1,求数列{an}的前n项和Sn.
解:(1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),所以
an+1a2,即cn+1-cnbn+1bn
anbn
=2,
所以数列{cn}是以c1=1为首项,d=2为公差的等差数列,故cn=2n-1.
--
(2)由bn=3n1,知an=(2n-1)3n1,于是数列{an}的前n项和Sn=1×30+3×31+5×32
+…+(2n-1)×3n1,3Sn=1×31+3×32+…+(2n-3)×3n1+(2n-1)×3n,将两式相减得
-
-2Sn=1+2×(31+32+…+3n1)-(2n-1)×3n=-2-(2n-2)×3n,
所以Sn=(n-1)3n+1.
-
-
10、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0, anan+1=λSn-1,其中λ为常数.
(1)证明:an+2-an=λ.
(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.
解:(1)证明:由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1, 两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1. 因为an+1≠0,所以an+2-an=λ.
(2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得 a2=λ-1, 由(1)知,a3=λ+1.
若{an}为等差数列,则2a2=a1+a3,解得λ=4,故an+2-an=4. 由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列, a2n-1=4n-3;
{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,an+1-an=2.
因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.
11、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
?1?????是等比数列,并求{an}的通项公式; a+(1)证明n
2????1113
(2)证明+…+a1a2an2
11
an+. 解:(1)由an+1=3an+1得an+13?2?2
1?13?313n
又a1+,所以?an+2是首项为3的等比数列,所以an+=,因此数
22222??
n
3-1
列{an}的通项公式为an=.
212
(2)证明:由(1)知an3-1
-
因为当n≥1时,3n-1≥2×3n1,
11121所以-. -=an3-133-12×3
13111113
1-<于是++…+≤1+?a1a2an32?323
1113所以++…+<.
a1a2an2
*
12、[2014·重庆卷] 设a1=1,an+1a2n-2an+2+b(n∈N).
(1)若b=1,求a2,a3及数列{an}的通项公式.
(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2n
(an+1-1)2=(an-1)2+1.
从而{(an-1)2}是首项为0,公差为1的等差数列, 故(an-1)2=n-1,即an=n-1+1(n∈N*).
方法二:a2=2,a32+1.
可写为a1=1-1+1,a22-1+1,a3=3-1+1.因此猜想an=n-1+1. 下面用数学归纳法证明上式. 当n=1时,结论显然成立.
假设n=k时结论成立,即akk-1+1,则
ak+1=(ak-1)+1+1(k-1)+1+1=(k+1)-1+1, 这就是说,当n=k+1时结论成立. 所以an=n-1+1(n∈N*).
(2)方法一:设f(x)(x-1)+1-1,则an+1=f(an).
1
令c=f(c),即c(c-1)+1-1,解得c=.
4
下面用数学归纳法证明命题 a2n
当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(0)=2-1,所以a2<
4
假设n=k时结论成立,即a2k
再由f(x)在(-∞,1]上为减函数,得c=f(c) 故c 1 综上,存在 c=a2n 假设n=k时结论成立,即0≤ak≤1. 易知f(x)在(-∞,1]上为减函数,从而 0=f(1)≤f(ak)≤f(0)=2-1<1. 即0≤ak+1≤1.这就是说,当n=k+1时结论成立.故①成立. 再证:a2n 当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(a2)=f(0)=2-1,所以a2 这就是说,当n=k+1时②成立.所以②对一切n∈N*成立. 由②得a2na2n-2a2n+2-1, 2 即(a2n+1)2 12014数列题,大学联考 因此a2n. ③ 4 又由①②及f(x)在(-∞,1]上为减函数,得f(a2n)>f(a2n+1),即a2n+1>a2n+2. 1 所以a2n+1>a2n+1-2a2n+1+2-1,解得a2n+1 ④ 4 1 综上,由②③④知存在c=使a2n 13、[2014·湖北卷] 已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由. 解:(1)设数列{an}的公差为d, 依题意得,2,2+d,2+4d成等比数列, 故有(2+d)2=2(2+4d), 化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2; 当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2. 从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2. (2)当an=2时,Sn=2n,显然2n<60n+800, sn="">60n+800成立. n[2+(4n-2)] 当an=4n-2时,Sn2n2. 2 令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去), 此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41. 综上,当an=2时,不存在满足题意的正整数n; 当an=4n-2时,存在满足题意的正整数n,其最小值为41. 14、[2014·湖南卷] 已知数列{an}满足a1=1,|an+1-an|=pn,n∈N*. (1)若{an}是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值; 1 (2)若p=,且{a2n-1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项公 2 式. 解:(1)因为{an}是递增数列,所以an+1-an=|an+1-an|=pn.而a1=1,因此 a2=p+1,a3=p2+p+1.又a1,2a2,3a3成等差数列,所以4a2=a1+3a3,因而3p2-p=0, 1 解得pp=0. 3 1 当p=0时,an+1=an,这与{an}是递增数列矛盾,故p=3 (2)由于{a2n-1}是递增数列,因而a2n+1-a2n-1>0,于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0.①2014数列题,大学联考 11 因为<-,所以|a2n+1-a2n|<|a2n-a2n-1|.② 22 12n-1(-1)2n?由①②知,a2n-a2n-1>0,因此a2n-a2n-1=?2=③ 2+ 1?2n(-1)2n1?因为{a2n}是递减数列,同理可得,a2n+1-a2n<0,故a2n+1-a2n=-?2?=. 2④ + (-1)n1 由③④可知,an+1-an=. 2(-1)n11 于是an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+-+…+=1+2221n-1?1-?-2n 141(-1)+-213321+ 2 n 41(-1) 故数列{an}的通项公式为an=. - 33215、[2014·全国卷] 等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=10,a2为整数,且 Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn= 1 anan+12014数列题,大学联考 {bn}的前n项和Tn. 解:(1)由a1=10,a2为整数知,等差数列{an}的公差d为整数. 又Sn≤S4,故a4≥0,a5≤0, 于是10+3d≥0,10+4d≤0, 105解得-d 32 因此d=-3. 故数列{an}的通项公式为an=13-3n. (2)bn= 11111 =?10-3n13-3n.于是Tn=b1+b2+…+bn= 3?(13-3n)(10-3n)3? n?11?+11+…+?11=1?11?= ?710?47?10-3n13-3n?3?10-3n10?10(10-3n). 16、[2014·山东卷] 已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=(-1)n-1 4n anan+1 {bn}的前n项和Tn. 2×1 解: (1)因为S1=a1,S2=2a1+2=2a1+2, 24×3 S4=4a1+2=4a1+12, 2 由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1, 所以an=2n-1. (2)由题意可知, bn=(-1)n=(-1)n -1 4n anan+1 -4n (2n-1)(2n+1) 11- =(-1)n12n-1+2n+1?. ??当n为偶数时, 11?11111 ++1+-?++…+?Tn=?-?3?35?2n-32n-1??2n-12n+1? 1 =1 2n+1=2n 2n+1 当n为奇数时, 11??11111 +1+-?++…-?Tn=?+2n-32n-12n-12n+1 ?3?35???? 第三篇:《20xx年大学联考数列部分试题》 11.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 数列{an}满足an+1=,a=2,则a1=________. 1-an8 2.[2014·重庆卷] 在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=( ) A.5 B.8 C.10 D.142014数列题,大学联考 3.[2014·天津卷] 设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数 11列,则a1=( ) A.2 B.-2 D.- 22 4.[2014·江西卷] 在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为________. 5.[2014·辽宁卷] 设等差数列{an}的公差为d,若数列{2a1an}为递减数列,则( ) A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0 6.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( ) n(n+1)n(n-1)A.n(n+1) B.n(n-1) C. D.22 7.[2014·广东卷] 等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=________. 8.[2014·江苏卷] 在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是________. 9.[2014·全国卷] 设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( ) A.31 B.32 C.63 D.64 3n2-n8.[2014·江西卷] 已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*. 2 (1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列. . 9.[2014·北京卷] 已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn-an}为 等比数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和. 10.[2014·福建卷] 在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求an; (2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn. 11.[2014·湖北卷] 已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式. (2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由. n2+n12.[2014·湖南卷] 已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*. 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和. 13.[2014·全国卷] 数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;(2)求{an}的通项公式. 14.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根. ?a?(1)求{an}的通项公式;(2)求数列?2?的前n项和. ?? 19.[2014·山东卷] 在等差数列{an}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=an(n?1),记Tm=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)nbn,求Tn. 2 20.[2014·陕西卷] △ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. (1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cos B的值. 21.[2014·浙江卷] 已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36. (1)求d及Sn; (2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65. 22.[2014·重庆卷] 已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和. (1)求an及Sn; (2)设{bn}是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0,求{bn}的通项公式及其前n项和Tn. 23.[2014·安徽卷] 数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*. ?a?(1)证明:数列?n是等差数列; (2)设bn=3n·an,求数列{bn}的前n项和Sn. ??