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什麼是層次分析法層次分析法(The analytic hierarchy process)簡稱AHP，在20世紀70年代中期由美國運籌學家托馬斯塞蒂(y)正式提出。它是一種定性和定量相結合的、系統化、層次化的分析方法。由於它在處理複雜的決策問題上的實用性和有效性，很快在世界範圍得到重視。它的應用已遍及經濟計劃和管理、能源政策和分配、行為科學、軍事指揮、運輸、農業、教育、人才、醫療和環境等領域。
層次分析法的基本思路與人對一個複雜的決策問題的思維、判斷過程大體上是一樣的。不妨用假期旅遊為例：假如有3個旅遊勝地A、B、C供你選擇，你會根據諸如景色、費用和 居住、飲食、旅途條件等一些準則去反覆比較這3個候選地點.首先，你會確定這些準則在你的心目中各佔多大比重，如果你經濟寬綽、醉心旅遊，自然分別看重景 色條件，而平素儉樸或手頭拮据的人則會優先考慮費用，中老年旅遊者還會對居住、飲食等條件寄以較大關注。其次，你會就每一個準則將3個地點進行對比，譬如 A景色最好，B次之;B費用最低，C次之;C居住等條件較好等等。最後，你要將這兩個層次的比較判斷進行綜合，在A、B、C中確定哪個作為最佳地點。
層次分析法建模1.問題的提出
日常生活中有許多決策問題。決策是指在面臨多種方案時需要依據一定的標準選擇某一種方案。例如旅遊，是去風光秀麗的蘇州，還是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般會依據景色、費用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個地方。面臨各種各樣的方案，要進行比較、判斷、評價、最後作出決策。這個過程主觀因素佔有相當的比重給用數學方法解決問題帶來不便
2.層次分析法的基本步驟
1、建立層次結構模型。在深入分析實際問題的基礎上，將有關的各個因素按照不同屬性自上而下地 分解成若干層次，同一層的諸因素從屬於上一層的因素或對上層因素有影響，同時又支配下一層的因素或受到下層因素的作用。最上層為目標層，通常只有1個因 素，最下層通常為方案或對象層，中間可以有一個或幾個層次，通常為準則或指標層。當準則過多時(譬如多於9個)應進一步分解出子準則層。
2、構造成對比較陣。從層次結構模型的第2層開始，對於從屬於(或影響)上一層每個因素的同一層諸因素，用成對比較法和19比較尺度構造成對比較陣，直到最下層。
3、計算權向量並做一致性檢驗。對於每一個成對比較陣計算最大特徵根及對應特徵向量，利用一致性指標、隨機一致性指標和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗通過，特徵向量(歸一化後)即為權向量：若不通過，需重新構造成對比較陣。
4、計算組合權向量並做組合一致性檢驗。計算最下層對目標的組合權向量，並根據公式做組合一致性檢驗，若檢驗通過，則可按照組合權向量表示的結果進行決策，否則需要重新考慮模型或重新構造那些一致性比率較大的成對比較陣。
3.建立層次結構模型
將問題包含的因素分層：最高層(解決問題的目的);中間層(實現總目標而採取的各種措施、必須考慮的準則等。也可稱策略層、約束層、準則層等);最低層(用於解決問題的各種措施、方案等)。把各種所要考慮的因素放在適當的層次內。用層次結構圖清晰地表達這些因素的關係。
〔例1〕 購物模型
某一個顧客選購電視機時，對市場正在出售的四種電視機考慮了八項準則作為評估依據，建立層次分析模型如下：
〔例2〕 選拔幹部模型
對三個幹部候選人y1、y2 、y3，按選拔幹部的五個標準：品德、才能、資歷、年齡和羣眾關係，構成如下層次分析模型： 假設有三個幹部候選人y1、y2 、y3，按選拔幹部的五個標準：品德，才能，資歷，年齡和羣眾關係，構成如下層次分析模型
4.構造成對比較矩陣
比較第 i 個元素與第 j 個元素相對上一層某個因素的重要性時，使用數量化的相對權重aij來描述。設共有 n 個元素參與比較，則
稱為成對比較矩陣。
成對比較矩陣中aij的取值可參考 Satty 的提議，按下述標度進行賦值。aij在 1-9 及其倒數中間取值。
aij = 1，元素 i 與元素 j 對上一層次因素的重要性相同;aij = 3，元素 i 比元素 j 略重要;aij = 5，元素 i 比元素 j 重要;aij = 7， 元素 i 比元素 j 重要得多;aij = 9，元素 i 比元素 j 的'極其重要;aij = 2n，n=1,2,3,4，元素 i 與 j 的重要性介於aij = 2n ? 1與aij = 2n + 1之間;
，n=1,2,...,9， 當且僅當aji = n。 成對比較矩陣的特點：
。(備註：當i=j時候，aij = 1)
對例 2， 選拔幹部考慮5個條件：品德x1，才能x2，資歷x3，年齡x4，羣眾關係x5。某決策人用成對比較法，得到成對比較陣如下：
a14 = 5 表示品德與年齡重要性之比為 5，即決策人認為品德比年齡重要。
5.作一致性檢驗
從理論上分析得到：如果A是完全一致的成對比較矩陣，應該有
aijajk = aik。
但實際上在構造成對比較矩陣時要求滿足上述眾多等式是不可能的。因此退而要求成對比較矩陣有一定的一致性，即可以允許成對比較矩陣存在一定程度的不一致性。
由分析可知，對完全一致的成對比較矩陣，其絕對值最大的特徵值等於該矩陣的維數。對成對比較矩陣 的一致性要求，轉化為要求： 的絕對值最大的特徵值和該矩陣的維數相差不大。
檢驗成對比較矩陣 A 一致性的步驟如下：
計算衡量一個成對比矩陣 A (n>1 階方陣)不一致程度的指標CI：
其中λmax是矩陣 A 的最大特徵值。 註解
從有關資料查出檢驗成對比較矩陣 A 一致性的標準RI：RI稱為平均隨機一致性指標，它只與矩陣階數 有關。按下面公式計算成對比較陣 A 的隨機一致性比率 CR：
。
判斷方法如下： 當CR<0.1時，判定成對比較陣 A 具有滿意的一致性，或其不一致程度是可以接受的;否則就調整成對比較矩陣 A，直到達到滿意的一致性為止。 例如對例 2 的矩陣
計算得到
,查得RI=1.12，
。
這説明 A 不是一致陣，但 A 具有滿意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。
此時A的最大特徵值對應的特徵向量為U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。 這個向量也是問題所需要的。通常要將該向量標準化：使得它的各分量都大於零，各分量之和等於 1。該特徵向量標準化後變成U = (0.4759,0.2636,0.0538,0.0981,0.1087)Z。經過標準化後這個向量稱為權向量。這裏它反映了決策者選拔幹部時，視品德條件最重要，其次是才能，再次是羣眾關係，年齡因素，最後才是資歷。各因素的相對重要性由權向量U的各分量所確定。
求A的特徵值的方法，可以用 MATLAB 語句求A的特徵值:〔Y,D〕=eig(A)，Y為成對比較陣 的特徵值，D
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