教學過程 :
1. 習舊引新
⑴ 在 ⊙O 上 , 任到三個點 A 、 B 、 C, 然後順次連接 , 得到的是什麼圖形 ? 這個圖形與 ⊙O 有什麼關係 ?
⑵ 由圓內接三角形的概念 , 能否得出什麼叫圓的內接四邊形呢 ( 類比 )?
2. 概念學習
⑴ 什麼叫圓的內接四邊形 ?
⑵ 如圖 1, 説明四邊形 ABCD 與 ⊙O 的關係。
3. 探討性質
⑴ 前面我們已經學習了一類特殊四邊形 ---- 平行四邊形 , 矩形 , 菱形 , 正方形 , 等腰梯形的性質 , 那麼要探討圓內接四邊形的性質 , 一般要從哪幾個方面入手 ?
⑵ 打開《幾何畫板》 , 讓學生動手任意畫 ⊙O 和 ⊙O 的內接四邊形 ABCD 。 ( 教師適當指導 )
⑶ 量出可試題的所有值 ( 圓的半徑和四邊形的邊 , 內角 , 對角線 , 周長 , 面積 ), 並觀察這些量之間的關係。
⑷ 改變圓的半徑大小 , 這些量有無變化 ? 由 (3) 觀察得出的某些關係有無變化 ?
⑸ 移動四邊形的一個頂點 , 這些量有無變化 ? 由 (3) 觀察得出的某些關係有無變化 ? 移動四邊形的四個頂點呢 ? 移動三個頂點呢 ?
⑹ 如何用命題的形式表述剛才的實驗得出來的結論呢 ?( 讓學生回答 )
4. 性質的證明及鞏固練習
⑴ 證明猜想
已知 : 如圖 1, 四邊形 ABCD 內接於 ⊙O 。求證 :∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC+∠ADC=180° 。
⑵ 完善性質
① 若將線段 BC 延長到 E( 如圖 2), 那麼 ,∠DCE 與 ∠BAD 又有什麼關係呢 ?
② 圓的內接四邊形的性質定理 : 圓內接四邊形的對角互補 , 並且任何一個外角都等於它的內對角。
⑶ 練習
① 已知 : 在圓內接四邊形 ABCD 中 , 已知 ∠A=50°,∠D-∠B=40°, 求 ∠B,∠C,∠D 的度數。
② 已知 : 如圖 3, 以等腰 △ABC 的底邊 BC 為直徑的 ⊙O 分別交兩腰 AB,AC 於點 E,D, 連結 DE,
求證 :DE∥BC 。 ( 演示作業本 )
5. 例題講解
引例已知 : 如圖 4,AD 是 △ABC 中 ∠BAC 的平分線 , 它與 △ABC 的外接圓交於點 D 。
求證 :DB=DC 。 ( 引例由學生證明並板演 )
教師先評價學生的板演情況 , 然後提出 , 若將已知中的“ AD 是 △ABC 中的 ∠BAC 的平分線 ” 改為“ AD 是 △ABC 的外角 ∠EAC 的平分線 ”, 又該如何證明 ? 引出例題。
例已知 : 如圖 5,AD 是 △ABC 的外角 ∠EAC 的平分線 , 與 △ABC 的外接圓交於點 D,
求證 :DB=DC 。
6. 小結 : 為了使學生對所學的內容有一個完整而深刻的印象 , 讓學生組成小組 , 從概念 , 性質 , 方法 , 特殊性進行討論 , 然後對討論的結果進行歸納。
⑴ 本節課我們學習了圓內接四邊形的概念和圓內接四邊形的和要性質 , 要求同學們理解圓內接四邊形和四邊形的外接圓的概念 , 理解圓內接四邊形的性質定理 ; 並初步應用性質定理進行有關命題的證明和計算。
⑵ 我們結合《幾何畫板》的使用導出了圓內接四邊形的性質 , 在這一過程中用到了許多數學方法 ( 實驗 , 觀察 , 類比 , 分析 , 歸納 , 猜想等 ), 同學們要逐步學會用並關於應用這些方法去探討有關的數學問題 , 提高我們的'數學實踐能力與創新能力。
7. 作業
⑴ 如圖 6, 在等腰直角 △ABC 中 ,∠C=90°, 以 AC 為弦的 ⊙O 分別交 BC,AB 於 D,E, 連結 DE 。求證 :△BDE 是等腰直角三角形。
⑵ 已知 :⊙O 和 ⊙O ＇相交於 A,B 兩點 , 經過 A,B 兩點分別作直線 CD 和 EF,CD 交 ⊙O,⊙O ＇於 C,D,EF 交 ⊙O,⊙O ＇於 E,F, 連結 CE,AB,DF 。
問 : 當 CD 和 EF 滿足怎樣的條件時 , 四邊形 CEDF 是怎樣的特殊四邊形 ? 並證明所得的結論。 ( 選做 )
二、對教學案例的分析
這一教學案例當然不能被看作是培養學生創新意識的國中數學課堂教學的範例 , 其中許多環節還需要進一步改進完善。但其較為真實地反映了目前數學課堂教學的一些情況 , 一些教學環節的處理還是值得肯定的。
1. 突出了數學課堂教學中的探索性
關於圓的內接四邊形性質的引出 , 在本教學案例上沒有像教材那樣直接給出定理 , 然後證明 ; 而是利用《幾何畫板》採取了讓學生動手畫一畫 , 量一量的方式 , 使學生通過對直觀圖形的觀察歸納和猜想 , 自己去發現結論 , 並用命題的形式表述結論。關於圓內接四邊形性質的證明 , 沒有采用教師給學生演示定理證明 , 而是引導學生證明猜想 , 並做了進一步的完善。這種探索性的數學教學方式在其後的例題講解中亦得到了進一步的貫徹。這樣既調動了學生學習數學的積極性和主動性 , 增強了學生參與數學活動的意識 , 又培養了學生的動手實踐能力。同時 , 也向學生滲透了實踐 ---- 認識 ---- 再實踐 ---- 再認識的辯證觀點。一方面 , 使數學不再是一門單調枯燥 , 缺乏直觀印象的高度抽象的學科 , 通過提供生動活潑的直觀演示 , 讓學生多角度 , 快節奏地去認識教學內容 , 達到事半功倍的教學效果 ; 另一方面 , 計算機所特有的 , 對數學活動過程的展示 , 對數學細節問題的處理可以使學生體驗到用運動的觀點來研究圖形的思想 , 讓學生充分感受到發現總是代和解決問題帶來的愉悦 , 培養學生的數學創新意識。
2. 引進了計算機《幾何畫板》技術
本課例在引導學生得出圓內接四邊形的性質時 , 通過使用《幾何畫板》 , 從而實現了改變圓的半徑 , 移動四邊形的頂點等 , 從而使國中平面幾何教學發生了重大的變化 , 那就是讓圖形出來説話 , 充分調動學生的直覺思維。這樣一來不僅極大地激發了學生學習的興趣 , 而且比過去的教學更能夠使學生深刻地理解幾何。當然 , 本教學案例在這方面的探索還是初步的 , 設想今後通過計算機技術的進一步開發與應用 , 國中平面幾何課能夠給學生更多動手的機會 , 讓學生以研究的方式學習幾何 , 進一步突出學生在學習中的主體地位。
3. 引入了數學開放題
本教學案例在增大數學課堂教學的探索性 , 計算機技術進入數學課堂的同時 , 在學生作業中還增加了開放題 ( 作業 2), 為學生創造了更為廣闊的思維空間 , 對此應大力提倡。目前 , 世界各國在數學教育改革中都十分強調高層次思維能力的培養 , 這些高層次思維能力包括了推理 , 交流 , 概括和解決問題等方面的能力。要提高學生這種高層次的思維 , 在數學課堂教學中引進開放性問題是十分有益的。我國的數學題一直是化歸型的 , 即將結論化歸為條件 , 所求的對象化歸為已知的結果。這種只考查邏輯連接的能力固然重要 , 並且永遠是主要部分 , 但是 , 它不能是惟一的。單一的題型已經嚴懲阻礙了學生數學創新能力的培養。
在數學教學中還可將一些常規性題目發行為開放題。如教材中有這樣一個平面幾何題“證明 : 順次連接四邊形四條邊的中點 , 所得的四邊形是平行四邊形。 ” 這是一個常規性題目 , 我們可以把它發行為“畫一個四邊形是什麼樣的特殊四邊形 , 並加以證明。 ” 我們還可用計算機來演示一個形狀不斷變化的四邊形 , 讓學生觀察它們四條邊中點的連線組成一個什麼樣的特殊四邊形 , 在學生完成猜想和證明過程後 , 我們進而可提出如下問題 :” 要使順次連接四條邊的中點所得的四邊形是菱形 , 那麼對原來的四邊形應有哪些新的要求 ? 如果要使所得的四邊形是正方形 , 還需要有什麼新的要求 ?” 通過這些改造 , 常規題便具有了“開放題 ” 的形式 , 例題的功能也可更充分地發揮。
在此 , 我們進一步強調培養學生創新意識的數學課堂教學 , 不應僅僅把開放題作為一種習題形式 , 而應作為一咱教學思想。這種教學思想反映了數學教學觀的轉變 , 這主要反映在開放性問題強調了數學知識的整體性 , 數學教學的思維性 , 數學解決問題的過程性 , 強調了學生在教學活動中的主體作用於以及有利於提高學生學習的樂趣 , 提高了學生學習的內在動力等。
4. 學生學習方式被確定為“發現學習 ”
在學習理論上 , 按不同的學習方式 , 可分為接受學習 (reception learning) 和發現學習 (discovery learning) 。所謂接受學習 , 是指學習者將別人的經驗變成自己的經驗的時候 , 所學習的內容是以定論或確定的形式通過傳授者的傳授 , 不需要自己任何方式的獨立發現 ; 發現學習則是由學習者自己發現問題和解決問題的一種學習方式 , 在課堂教學中則主要是指發現學習。儘管發現學習效率比接受學習的效率低 , 但卻十分有利於培養學生髮現與創新的意識 , 鑑於初中學生的身心與教學內容特點 , 發現學習應是培養創新意識的國中數學課堂教學中學生學習的主要方式。本教學案例中學生的學被確定為發現學習 , 那麼教師的教學行為就應根據學生的這一學習特點來設計相應的教學方法以及教學的組織形式。即教師在指導學生學習概念和原理時 , 只給他們一些事實和問題 , 讓學生積極思考 , 獨立探索 , 自己發現並掌握相應的原理和規則。
對此本教學案例中圓的內接四邊形的概念、性質等均沒有直接給學生 , 而是在教師創設的問題情境中讓學生髮現而獲得。但不足的是本案例似乎在這方面還不夠典型 , 學生學習積極性的發揮與調動亦沒有充分反映出來。這些問題都有待於我們繼續進行深入的研究。
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