相似圖形
一、線段的比
※1、如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB,CD的長度分別是m、n,那麼就説這兩條線段的比AB:CD=m:n,或寫成.
※2、四條線段a、b、c、d中,如果a與b的比等於c與d的比,即,那麼這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段,簡稱比例線段.
※3、注意點:
①a:b=k,説明a是b的k倍;
②由於線段a、b的長度都是正數,所以k是正數;
③比與所選線段的長度單位無關,求出時兩條線段的長度單位要一致;
④除了a=b之外,a:b≠b:a,與互為倒數;
⑤比例的基本性質:若,則ad=bc;若ad=bc,則
二、黃金分割
※1、如圖1,點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果,那麼稱線段AB被點C黃金分割,點C叫做線段AB的黃金分割點,AC與AB的比叫做黃金比.
※2、黃金分割點是最優美、最令人賞心悦目的點.
四、相似多邊形
¤1、一般地,形狀相同的圖形稱為相似圖形.
※2、對應角相等、對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應邊的比叫做相似比.
五、相似三角形
※1、在相似多邊形中,最為簡簡單的就是相似三角形.
※2.對應角相等、對應邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對應邊的比叫做相似比.
※3、全等三角形是相似三角的特例,這時相似比等於1.注意:證兩個相似三角形,與證兩個全等三角形一樣,應把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上.
※4、相似三角形對應高的比,對應中線的比與對應角平分線的比都等於相似比.
※5、相似三角形周長的比等於相似比.
※6、相似三角形面積的比等於相似比的平方.
六、探索三角形相似的條件
※1、相似三角形的判定方法:
一般三角形直角三角形
基本定理:平行於三角形的一邊且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交的直線,所截得的三角形與原三角形相似.
①兩角對應相等;
②兩邊對應成比例,且夾角相等;
③三邊對應成比例.①一個鋭角對應相等;
②兩條邊對應成比例:
a.兩直角邊對應成比例;
b.斜邊和一直角邊對應成比例.
※2、平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例.
※3、平行於三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構成的三角形與原三角形相似.
八、相似的多邊形的性質
※相似多邊形的周長等於相似比;面積比等於相似比的平方.
九、圖形的放大與縮小
※1.如果兩個圖形不僅是相似圖形,而且每組對應點所在的直線都經過同一點,那麼這樣的兩個圖形叫做位似圖形;這個點叫做位似中心;這時的相似比又稱為位似比.
※2.位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等於位似比.
◎3.位似變換:
①變換後的圖形,不僅與原圖相似,而且對應頂點的連線相交於一點,並且對應點到這一交點的距離成比例.像這種特殊的相似變換叫做位似變換.這個交點叫做位似中心.
②一個圖形經過位似變換後得到另一個圖形,這兩個圖形就叫做位似形.
③利用位似的方法,可以把一個圖形放大或縮小.
第五章數據的收集與處理
一、每週幹家務活的時間
※1、所要考察的對象的全體叫做總體;
把組成總體的每一個考察對象叫做個體;
從總體中取出的一部分個體叫做這個總體的一個樣本.
※2、為一特定目的而對所有考察對象作的全面調查叫做普查;
為一特定目的而對部分考察對象作的調查叫做抽樣調查.
二、數據的收集
※1、抽樣調查的特點:調查的範圍小、節省時間和人力物力優點.但不如普查得到的調查結果精確,它得到的只是估計值.
而估計值是否接近實際情況還取決於樣本選得是否有代表性.
第六章證明(一)
二、定義與命題
※1、一般地,能明確指出概念含義或特徵的句子,稱為定義.
定義必須是嚴密的.一般避免使用含糊不清的術語,例如"一些"、"大概"、"差不多"等不能在定義中出現.
※2、可以判斷它是正確的或是錯誤的句子叫做命題.
正確的命題稱為真命題,錯誤的命題稱為假命題.
※3、數學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的',並且把它們作為判斷其他命題真假的原始依據,這樣的真命題叫做公理.
※4、有些命題可以從公理或其他真命題出發,用邏輯推理的方法判斷它們是正確的,並且可以進一步作為判斷其他命題真假的依據,這樣的真命題叫做定理.
¤5、根據題設、定義以及公理、定理等,經過邏輯推理,來判斷一個命題是否正確,這樣的推理過程叫做證明.
三.為什麼它們平行
※1、平行判定公理:同位角相等,兩直線平行.(並由此得到平行的判定定理)
※2、平行判定定理:同旁內互補,兩直線平行.
※3、平行判定定理:同錯角相等,兩直線平行.
四、如果兩條直線平行
※1.兩條直線平行的性質公理:兩直線平行,同位角相等;
※2.兩條直線平行的性質定理:兩直線平行,內錯角相等;
※3.兩條直線平行的性質定理:兩直線平行,同旁內角互補.
五、三角形和定理的證明
※1.三角形內角和定理:三角形三個內角的和等於180°
¤2.一個三角形中至多隻有一個直角
¤3.一個三角形中至多隻有一個鈍角
¤4.一個三角形中至少有兩個鋭角
六、關注三角形的外角
※1.三角形內角和定理的兩個推論:
推論1:三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和;
推論2:三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角.
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