平面向量的數量積知識點總結的內容

教學過程：

一、複習引入：

1. 向量共線定理? 向量 與非零向量 共線的充要條件是：有且只有一個非零實數λ，使 =λ .

2.平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任一向量 ，有且只有一對實數λ1，λ2使 =λ1 +λ2

3.平面向量的座標表示

分別取與 軸、 軸方向相同的兩個單位向量 、 作為基底.任作一個向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數 、 ，使得

把 叫做向量 的(直角)座標，記作

4.平面向量的座標運算

若 ， ，則? ，? ， .

若 ， ，則

5. ∥? ( ? )的充要條件是x1y2-x2y1=0

6.線段的定比分點及λ

P1， P2是直線l上的兩點，P是l上不同於P1， P2的任一點，存在實數λ，

使? =λ ，λ叫做點P分 所成的比，有三種情況：

λ>0(內分) (外分) λ<0 (λ<-1)??? ( 外分)λ<0? (-1<λ<0)

7. 定比分點座標公式：

若點P1(x1，y1) ，P2(x2，y2)，λ為實數，且 =λ ，則點P的座標為( )，我們稱λ為點P分 所成的比.

8. 點P的位置與λ的範圍的關係：

①當λ>0時， 與 同向共線，這時稱點P為 的內分點.

②當λ<0( )時， 與 反向共線，這時稱點P為 的外分點.

9.線段定比分點座標公式的向量形式：

在平面內任取一點O，設 =a， =b，

可得 = .

10.力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F與s的夾角.

二、講解新課：

1.兩個非零向量夾角的概念

已知非零向量a與b，作 =a， =b，則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a與b的夾角.

説明：(1)當θ=0時，a與b同向;

(2)當θ=π時，a與b反向;

(3)當θ= 時，a與b垂直，記a⊥b;

(4)注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的.範圍0?≤?≤180?

2.平面向量數量積(內積)的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角是θ，則數量|a||b|cos?叫a與b的數量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，

(0≤θ≤π).並規定0與任何向量的數量積為0.

?探究：兩個向量的數量積與向量同實數積有很大區別

(1)兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cos?的符號所決定.

(2)兩個向量的數量積稱為內積，寫成a?b;今後要學到兩個向量的外積a×b，而a?b是兩個向量的.數量的積，書寫時要嚴格區分.符號“? ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.

(3)在實數中，若a?0，且a?b=0，則b=0;但是在數量積中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0.因為其中cos?有可能為0.

(4)已知實數a、b、c(b?0)，則ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c? a = c

如右圖：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA|

? a?b = b?c? 但a ? c

(5)在實數中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)

顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.

3.“投影”的概念：作圖

定義：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.

投影也是一個數量，不是向量;當?為鋭角時投影為正值;當?為鈍角時投影為負值;當?為直角時投影為0;當? = 0?時投影為 |b|;當? = 180?時投影為 ?|b|.

4.向量的數量積的幾何意義：

數量積a?b等於a的長度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積.

5.兩個向量的數量積的性質：

設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.

1?? e?a = a?e =|a|cos?

2?? a?b ? a?b = 0

3?? 當a與b同向時，a?b = |a||b|;當a與b反向時，a?b = ?|a||b|. 特別的a?a = |a|2或

4?? cos? =

5?? |a?b| ≤ |a||b|

三、講解範例：

例1 已知|a|=5， |b|=4， a與b的夾角θ=120o，求a?b.

例2 已知|a|=6， |b|=4， a與b的夾角為60o求(a+2b)?(a-3b).

例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a與b不共線，k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直.

例4 判斷正誤，並簡要説明理由.

①a?0=0;②0?a=0;③0- = ;④|a?b|=|a||b|;⑤若a≠0，則對任一非零b有a?b≠0;⑥a?b=0，則a與b中至少有一個為0;⑦對任意向量a，b，с都有(a?b)с=a(b?с);⑧a與b是兩個單位向量，則a2=b2.

解：上述8個命題中只有③⑧正確;

對於①：兩個向量的數量積是一個實數，應有0?a=0;對於②：應有0?a=0;

對於④：由數量積定義有|a?b|=|a|?|b|?|cosθ|≤|a||b|，這裏θ是a與b的夾角，只有θ=0或θ=π時，才有|a?b|=|a|?|b|;

對於⑤：若非零向量a、b垂直，有a?b=0;

對於⑥：由a?b=0可知a⊥b可以都非零;

對於⑦：若a與с共線，記a=λс.

則a?b=(λс)?b=λ(с?b)=λ(b?с)，

∴(a?b)?с=λ(b?с)с=(b?с)λс=(b?с)a

若a與с不共線，則(a?b)с≠(b?с)a.

評述：這一類型題，要求學生確實把握好數量積的定義、性質、運算律.

例6 已知|a|=3，|b|=6，當①a∥b，②a⊥b，③a與b的夾角是60°時，分別求a?b.

解：①當a∥b時，若a與b同向，則它們的夾角θ=0°，

∴a?b=|a|?|b|cos0°=3×6×1=18;

若a與b反向，則它們的夾角θ=180°，

∴a?b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18;

②當a⊥b時，它們的夾角θ=90°，

∴a?b=0;

③當a與b的夾角是60°時，有

a?b=|a||b|cos60°=3×6× =

評述：兩個向量的數量積與它們的夾角有關，其範圍是[0°，180°]，因此，當a∥b時，有0°或180°兩種可能.