摘 要 在馬柯維茨假設的基礎上探討了證券投資組合的有效邊界和無差異曲線的基本特性，進而提出了一種選擇最優證券投資組合的分析方法，並對上證30指數的指標股進行了實證研究，其結果可望為證券投資實踐提供某種程度的科學依據。
關鍵詞 投資組合 有效邊界 無差異曲線 實證分析
1 證券投資組合的可行域和有效邊界
設有證券投資組合P，其期望收益率記為E(rp)，標準差記為σP。則以E(rp)和σP為軸，可建立描述投資組合的座標體系。在此座標系中，所有可能的證券組合方式被定義為證券投資組合的可行域。對於只有兩個證券A、B的投資情形，其組合分析見圖1。
圖1中由證券A和證券B建立的證券組合位於連接A、B的直線或曲線上，該直線或曲線被稱為證券A與B的結合線。結合線的彎曲程度由證券A和證券B的收益率之間的聯動關係所決定，而與選擇的組合方式無關。證券間的聯動關係採用相關係數來衡量，取值介於-1和1之間。不同組合在連線上的位置取決於該組合投資於證券A、B的比例。如果市場不存在賣空機制，則證券投資組合的可行域即是證券A、B之間的結合線。類似地，對於三個證券A、B、C之間的組合分析情形，在不允許賣空的條件下，由三條結合線(每兩種證券形成)構成的所有投資組合的可行域見圖2。顯然，可行域內的每一點可以通過三種證券的二次組合來得到。例如，A、C的組合為D，B、D的組合為Z。一般來説，當存在n種證券可供選擇時，根據建立組合的限制條件(如是否存在賣空機制等)，其可行域可能是有限域，也可能是無限域。但無論如何，可行域的左邊界總是向外凸的(允許線性部分)，不會出現凹陷。
根據馬柯維茨均值方差模型的假設，在相同期望收益的投資組合中，投資者會選擇方差最小的組合方案。對於每一個可能的期望收益，均有一個方差最小的投資組合恰好構成可行域的左邊界。另一方面，在方差相同的投資組合中，投資者會選擇期望收益最高的組合方案。而對每一個可能的方差水平，都有一個期望收益率最高的投資組合恰好構成可行域的上邊界。綜上所述，投資者實際選擇的證券組合應位於可行域的左邊界和上邊界的公共部分，該局部邊界被稱為可行域的有效邊界(見圖3)。
2 證券投資組合的無差異曲線
在投資實踐中經常會見到高收益伴隨高風險的情形，即:
E(rA)>(rB)，σA>σB
此時，投資組合A比B承擔更大的風險，但同時也具有更高的期望收益，這種期望收益的增量可視為對風險增量的補償。
基於風險與收益之間的補償作用，不同投資組合的實際效用(即滿意程度)在投資者看來也許是相同的。將被投資者認為滿意程度相同的投資組合曲線繪製在均值方差座標系中，形成圖4所示的無差異曲線族。顯然，族中無差異曲線的位置越高，該曲線上投資組合的滿意程度越高。由於不同投資者對風險的態度大不相同，故無差異曲線通常被劃分為風險偏愛、風險中立和風險厭惡等三種基本類型，其曲線形狀(見圖4)。
3 最優證券組合的確定
統計調查的結果表明，絕大多數的投資者對風險持厭惡態度。為此，本文以風險厭惡型投資者的投資組合為代表分析最優證券組合的確定方法與過程。
如前所述，在馬柯維茨假設下，給定投資環境中的每個投資者將根據證券組合的收益和方差以及自身對風險的態度確定相應的無差異曲線族，並藉助於無差異曲線在投資組合的有效邊界上選擇一個適當的投資方案。顯然，由於所選投資方案既不能離開有效邊界，又希望具有儘可能高的滿意程度，故該方案必然對應於某條無差異曲線與有效邊界的切點。其圖解過程見圖5，圖5中H點所代表的投資組合方案即為所求。
4 實證分析
本文選取上證30指數的`指標股作為實證分析的對象。研究時段為2000年1月7日~2000年12月29日，共計48個交易周的收盤價。首先計算股票的周收益率及其方差，期間凡有送股、配股和派發現金股利的股票，均根據其配送方案分別進行復權，以保持數據的完整性和一致性。然後構建組合投資的決策模型及確定投資組合的有效邊界，最終給出指標股的投資方案並進行必要的結果分析。
4.1 周平均收益率及其方差計算
樣本股周收益率的計算公式為:
rit=■-1 (1)
式中i=1，2，…，30;t=1，2，…，48;
rit:第i只股票從第t-1周到第t周的收益率;Pit:第i只股票在第t周的收盤價;Pi，t-1:第i只股票在第t-1周的收盤價;ai:第i只股票從第t-1周到第t周的送股比例;bi:第i只股票從第t-1周到第t周的配股比例;Bi:第i只股票配股價;di:第i只股票在第t-1周到第t周的每股現金紅利。
各樣本股在樣本時限內平均收益率和方差的計算公式分別為:
E(rit)=■，σ2i=■(2)
式中E(ri)是第i只股票的周平均收益率，rit是第i只股票在第t周的收益率，N=47為計算總週數。
上證30指標股在樣本時限內周平均收益率和方差的具體計算結果見表1。
4.2 決策模型與有效投資組合
因為我國證券交易市場不存在賣空機制，相應的組合投資決策模型可寫成以下數學規劃的形式:minσ2(rp)XT∑X
=1
XTR=R0(3)
Xi≥0，i=1，2，…，n
式中:X=(x1，x2，…，xn)T為證券組合投資比例向量;r=(r1，r2，…，rn)T為各單個證券投資收益率向量;R=(R1，R2，…，Rn)T為收益率向量的期望向量;∑(σij)n×n為收益率向量r的協方差，σij=Cov(ri，rj)，i，j=1，2，…n;En為元素全為1的n維列向量;E(rp)=XTR表示證券組合的預期收益率;σ2(rp)=XT∑X表示證券組合的風險。
該模型的內涵是在給定預期收益率R0的條件下，力求使證券組合投資的風險達到最小。其中，R0為投資者所要求的最低收益率水平。
藉助於Lingo軟件平台，通過編程計算，不難求解上述數學規劃，從而確定證券投資的有效組合。實際運算結果表明，上證30指數指標股的有效投資組合一共有14組，每一投資組合中各樣本股所佔的投資比例見表2。
5.3 投資組合的有效邊界及結果分析
由表2的數據可以看出，隨着組合投資方案中證券數目的增加，用方差代表的投資風險在迅速降低，最終穩定在某一固有的風險水平。該風險水平在某種意義上可視為投資環境的系統風險，必須由投資者個人承擔，而無法通過投資組合的方式來化解。
根據表2的數據可以繪製出上證30指數指標股投資組合的有效邊界，其界面曲線見圖6。
圖6中的B點表明，投資者在上證30指數指標股投資組合中可以實現的最高周收益率為1.4721%，折算成年收益率為75.71%，同時需要承擔方差為45.08%的投資風險。其具體投資方案為將全部資金投資於龍騰科技，屬於單一證券的投資選擇模式，是高收益、高風險的集中體現。
另一方面，圖6中的A點表明，如果將資金按一定比例分投於所選擇的9支股票(詳見表2)，則投資風險降低到最低程度(σ2=5.2%)，同時可實現0.249%的周平均收益率，對應年收益率為12.78%。顯然，該證券組合投資的收益率仍然遠高於銀行同期年利率2.25%的水平。
參考文獻
1 小詹姆斯L.法雷爾.齊寅峯譯.投資組合管理理論及應用[M].北京:機械工業出版社，2002
2 王春峯.金融市場風險管理[M].天津:天津大學出版社，2001
3 張璞.一種確定最優組合證券的新方法[J]，系統工程，2000(2)
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