必修四數學期末試卷

高中數學必修一必修四綜合檢測題(一)

一、選擇題

1.若向量 ， ， 滿足條件 ，則 =( )

A.6 B.5 C.4 D.3

2.如果 ，那麼 等於( )

A. B. C. [ D.

3.已知向量 ( )

A. B. C. D.

4.若一圓弧長等於其所在圓的內接正三角形的邊長，那麼其圓心角的弧度數為( )

A. B. C. D.2

5.若 ,則 的值為( )

A. B. C. D.

6.函數 在一個週期內的圖象如下，此函數的解析式為( )

A. B.

C. D.

7.已知函數 ，若函數 有3個零點，則實數m的取值範圍( ).

A.(0, ) 　　　 B. 　　　C. D. (0,1)

8. 為三角形 的一個內角,若 ,則這個三角形的形狀為( )

A.鋭角三角形 B.鈍角三角形　　　 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形

9.設 是定義在 上的奇函數，且 ， ，則 ( )

A.0 B. 0.5 C.2 D.

10.已知函數 滿足:對任意實數 ,當 時,總有 ,那麼實數 的取值範圍是 ( )

A. B. C. D.

二、填空題

11.已知 ,則 = .

12.方程 在 上有兩個不等的實根，則實數 的取值範圍是

13.設 ，則

14.若 ，則 的取值範圍是

15.關於x的方程 有實根，且一個大於2，一個小於2，則m取值範圍為_ __ __.

三、解答題

16. 已知集合 ， , 。

(1)求 ;(2)求 ;(3)若 ，求 的取值範圍

17.已知向量 與 的夾角為30°，且| |= ，| |=1，

(1)求| -2 |的值

(2)設向量 = +2 ， = -2 ，求向量 在 方向上的投影

18.已知向量a=cos x，-12，b=(3sin x，cos 2x)，x∈ ，設函數 =a•b.

(1)求 的最小正週期;

(2)求 在0，π2上的最大值和最小值.

19.設 是定義在R上的奇函數，且對任意a、b ，當 時，都有 .

(1)若 ，試比較 與 的大小關係;

(2)若 對任意 恆成立，求實數k的取值範圍.

20. 在每年的“春運”期間，某火車站經統計每天的候車人數 (萬人)與時間 (小時)，近似滿足函數關係式 ， ，並且一天中候車人數最少是夜晚2點鐘，最多是在下午14點鐘。

(1)求函數關係式?

(2)當候車人數達到13萬人以上時，車站將進入緊急狀態，需要增加工作人員應對。問在一天中的什麼時間段內，車站將進入緊急狀態?

21.已知函數 的`圖象過點 ，且圖象上與 點最近的一個最高點座標為 .

(1)求函數的解析式;

(2)指出函數的增區間;

(3)若將此函數的圖象向左平行移動 個單位長度後，再向下平行移動2個單位長度得到 的圖象，求 在 上的值域.

(選做)22.已知函數

(1) 判斷 的單調性並證 明;

(2)設函數 .若關於x的方程g(x)=0在(0，2)上有兩個解x1，x2,求k的取值範圍, 並比較 與4的大小.

高中數學必修一必修四檢測題(一)參考答案

CDBCA ADBBA 11. 12. 13.17 14. 15.

16.解：(1)

=

(2)

=

(3) 集合 , ，且

17.解(1)∵| -2 |= =

= =1

(2)(法一)：由(1)可知 ; ; =

∴ = = ;從而在方向上的投影為 =

(法二)：∵由(1)可知 ; = = =

18.解：f(x)=cos x，-12•(3sin x，cos 2x)

=3cos xsin x-12cos 2x=32sin 2x-12cos 2x

=cosπ6sin 2x-sinπ6cos 2x=sin2x-π6.

(1)f(x)的最小正週期為T=2πω=2π2=π，

即函數f(x)的最小正週期為π.

(2)∵0≤x≤π2，∴-π6≤2x-π6≤5π6.

由正弦函數的性質，知當2x-π6=π2，即x=π3時，f(x)取得最大值1;

當2x-π6=-π6，即x=0時，f(0)=-12，

當2x-π6=5π6，即x=π2時，fπ2=12，

∴ f(x)的最小值為-12.

因此，f(x)在0，π2上的最大值是1，最小值是-12.

19.解：(1)因為 ，所以 ，由題意得：

，所以 ，又 是定義在R上的奇函數，

，即

(2)由(1)知 為R上的單調遞增函數，

對任意 恆成立，

，即 ，

， 對任意 恆成立，

即k小於函數 的最小值.

令 ，則 ，

.

20.解：(1)由題意知

解得：

即：

又∵當 時，

∴

∴

(2)問題等價於，

即

∴

答：一天中10——18點，車站將進入緊急狀態。

21.(1)由已知可得

由 得

……3分

(2)由

增區間是

(3)

的值域為

22.解：(1)由題意得： ，設 ，

則

， ，又 ，得

，即 ，∴ 在 上為增函數.

(2)

在 上有兩個解 ，不妨設

因為

所以 在 是單調函數，故 在 上至多一個解.

若 ，則 ，故不符題意，因此

由 得 ，所以 ，

由 得 ，所以 ;

故當 時，方程 在 上有兩個解.

方法一：因為 ，所以 ，

消去 得 ，即

因為 ，所以 .

方法二：由 得

由 ，得 ，因為 ，所以 .

則 .

而 在 上是減函數

則

因此