高中數學求最值的方法

函數的最值問題既是歷年大學聯考重點考查的內容之一，也是中學數學的主要內容。分享了高中數學求最值的幾種方法，希望對同學們有幫助！

（1）代數法。代數法包括判別式法（主要是應用方程的思想來解決函數最值問題）配方法（解決二次函數可轉化為求二次函數的最值問題）不等式法（基本不等式是求最值問題的重要工具，靈活運用不等式，能有效地解決一些給定約束條件的函數最值問題）④換元法（利用題設條件，用換元的方法消去函數中的一部分變量，將問題化歸為一元函數的最值，以促成問題順利解決，常用的換元法有代數換元法和三角換元法）。

①判別法：判別式法是等式與不等式聯繫的重要橋樑，若能在解多元函數最值過程中巧妙地運用，就能給人一種簡單明快、耳目一新的感覺。而應用判別式的核心在於能否合理地構造二次方程或二次函數，還需注意是否能取等號。若函數可化成一個係數含有y的關於x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，在a（y）≠0時，由於x，y為實數，必須有：△=[b（y）]—4a（y）c（y）≥0，由此求出y所在的範圍確定函數最值。

②配方法：配方法多使用於二次函數中，通過變量代換，能變為關於t（x）的二次函數形式，函數可先配方成為f（x）=a[t（x）—m]2+n的形式，再根據二次函數的性質確定其最值（此類題的解法關鍵在於用“配方法”將二次函數一般式化為頂點式，同時要考慮頂點的橫座標的值是否落在定義域內，若不在定義域內則需考慮函數的單調性）。

③不等式法：均值不等式求最值，必須符合“一正、二定、三相”這三個必要條件，因此當其中一些條件不滿足時應考慮通過恰當的恆等變形，使這些條件得以滿足“和定積最大，積定和最小”，特別是其等號成立的條件。（在滿足基本不等式的條件下，如果變量的和為定值，則積有最大值；變量的積為定值，則和有最小值。本例中計算的目的，是利用隱含在條件之中的和為定值，當然這裏還需要利用係數的湊合才能達到目的，具有一定技巧）

④換元法：換元法又叫變量替換法，即把某個部分看成一個式子，並用一個字母代替，於是使原式變得簡化，使解題過程更簡捷（在利用三角換元法求解問題時，關鍵還是要在掌握好三角函數常用關係式的基礎上，結合所求解的函數式，慎重使用）。

（2）數形結合法。數形結合法是數學中的一種重要的`思想方法，即考慮函數的幾何意義，結合幾何背景，把代數問題轉化為幾何問題，解法往往顯得直觀、簡捷。通過數與形之間的對應和轉化來解題，有許多的優越性。將抽象的數學語言和直觀的圖形結合起來，藉助幾何圖形活躍解題思路，使解題過程簡化。有時函數最值也藉助數形結合方法來求解。

①解析式：解析法是觀察函數的解析式，結合函數相關的性質，求解函數最值的方法。

②函數性質法：函數性質法主要是討論利用已學函數的性質，如函數的單調性求函數最值等。

③構造複數法：構造複數法是在已經學習複數章節的基礎上，把所求結論與複數的相關知識聯繫起來，充分利用複數的性質來進行求解。

④求導法（微分法）：導數是高中現行教材新增加的內容，求導法求函數最值是應用高等數學的知識解決初等問題，可以解決一類高次函數的最值問題。找閉區間[a，b]上連續的函數f（x）的最大（或最小）值時，將不可導點、穩定點及a，b處的函數值作比較，最大（或最小）者即為最大（或最小）值。

綜上可知，函數最值問題內涵豐富，解法靈活，沒有通用的方法和固定的模式，在解題時要因題而異；而且上述方法並非彼此孤立，而是相互聯繫、相互滲透的，有時一個問題需要多法並舉，互為補充，有時一個題目又會有多種解法。因此，解題的關鍵在於認真分析和思考，因題而異地選擇恰當的解題方法，當一題有多種解法時，當然應該注意選擇最優解法。