高中數學函數對稱性和週期性小結

時光飛逝，伴隨着比較緊湊又略顯緊張的工作節奏，我們的工作又將告一段落了，這段時間裏，一定有很多值得分享的經驗吧，該好好寫一份小結把這些都記錄下來了。我們該怎麼去寫小結呢？下面是小編為大家收集的高中數學函數對稱性和週期性小結，歡迎大家分享。

一、函數對稱性：

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f（a+x）=f（a-x）==>f（x）關於x=a對稱

f（a+x）=f（b-x）==>f（x）關於x=（a+b）/2對稱f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）關於點（a，0）對稱f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）關於點（a，b）對稱

f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）關於點[（a+b）/2，c/2]對稱y=f（x）與y=f（-x）關於x=0對稱y=f（x）與y=-f（x）關於y=0對稱y=f（x）與y=-f（-x）關於點（0,0）對稱

例1：證明函數y=f（a+x）與y=f（b-x）關於x=（b-a）/2對稱。

【解析】求兩個不同函數的對稱軸，用設點和對稱原理作解。

證明：假設任意一點P（m，n）在函數y=f（a+x）上，令關於x=t的對稱點Q（2tm，n），那麼n=f（a+m）=f[b（2tm）]

∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即證得對稱軸為x=（b-a）/2.

例2：證明函數y=f（a-x）與y=f（xb）關於x=（a+b）/2對稱。

證明：假設任意一點P（m，n）在函數y=f（a-x）上，令關於x=t的對稱點Q（2tm，n），那麼n=f（a-m）=f[（2tm）b]

∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即證得對稱軸為x=（a+b）/2.

二、函數的`週期性

令a,b均不為零，若：

1、函數y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函數最小正週期T=|a|

2、函數y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函數最小正週期T=|b-a|

3、函數y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函數最小正週期T=|2a|

4、函數y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函數最小正週期T=|2a|

5、函數y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函數最小正週期T=|4a|

這裏只對第2~5點進行解析。

第2點解析：

令X=x+a，f[a+（xa）]=f[b+（xa）]∴f（x）=f（x+ba）==>T=ba

第3點解析：同理，f（x+a）=-f（x+2a）……

①f（x）=-f（x+a）……

②∴由①和②解得f（x）=f（x+2a）∴函數最小正週期T=|2a|

第4點解析：

f（x+2a）=1/f（x+a）==>f（x+a）=1/f（x+2a）

又∵f（x+a）=1/f（x）∴f（x）=f（x+2a）

∴函數最小正週期T=|2a|

第5點解析：

∵f（x+a）={2[1f（x）]}/[1f（x）]=2/[1f（x）]1

∴1f（x）=2/[f（x）+1]移項得f（x）=12/[f（x+a）+1]

那麼f（x-a）=12/[f（x）+1]，等式右邊通分得f（x-a）=[f（x）1]/[1+f（x）]∴1/[f（x-a）=[1+f（x）]/[f（x）1]，即-1/[f（x-a）=[1+f（x）]/[1-f（x）]∴-1/[f（x-a）=f（x+a），-1/[f（x2a）=f（x）==>-1/f（x）=f（x-2a）①，又∵-1/f（x）=f（x+2a）②，

由①②得f（x+2a）=f（x-2a）==>f（x）=f（x+4a）

∴函數最小正週期T=|4a|

擴展閲讀：函數對稱性、週期性和奇偶性的規律總結

函數對稱性、週期性和奇偶性規律總結

（一）同一函數的函數的奇偶性與對稱性：（奇偶性是一種特殊的對稱性）

1、奇偶性：

（1）奇函數關於（0，0）對稱，奇函數有關係式f（x）f（x）0

（2）偶函數關於y（即x=0）軸對稱，偶函數有關係式f（x）f（x）

2、奇偶性的拓展：同一函數的對稱性

（1）函數的軸對稱：

函數yf（x）關於xa對稱f（ax）f（ax）

f（ax）f（ax）也可以寫成f（x）f（2ax）或f（x）f（2ax）

若寫成：f（ax）f（bx），則函數yf（x）關於直線x稱

（ax）（bx）ab對22證明：設點（x1,y1）在yf（x）上，通過f（x）f（2ax）可知，y1f（x1）f（2ax1），

即點（2ax1,y1）也在yf（x）上，而點（x1,y1）與點（2ax1,y1）關於x=a對稱。得證。

説明：關於xa對稱要求橫座標之和為2a，縱座標相等。

∵（ax1,y1）與（ax1,y1）關於xa對稱，∴函數yf（x）關於xa對稱

f（ax）f（ax）

∵（x1,y1）與（2ax1,y1）關於xa對稱，∴函數yf（x）關於xa對稱

f（x）f（2ax）

∵（x1,y1）與（2ax1,y1）關於xa對稱，∴函數yf（x）關於xa對稱

f（x）f（2ax）

（2）函數的點對稱：

函數yf（x）關於點（a,b）對稱f（ax）f（ax）2b

上述關係也可以寫成f（2ax）f（x）2b或f（2ax）f（x）2b

若寫成：f（ax）f（bx）c，函數yf（x）關於點（abc,）對稱2證明：設點（x1,y1）在yf（x）上，即y1f（x1），通過f（2ax）f（x）2b可知，f（2ax1）f（x1）2b，所以f（2ax1）2bf（x1）2by1，所以點（2ax1,2by1）也在yf（x）上，而點（2ax1,2by1）與（x1,y1）關於（a,b）對稱。得證。

説明：關於點（a,b）對稱要求橫座標之和為2a,縱座標之和為2b,如（ax）與（ax）之和為2a。

（3）函數yf（x）關於點yb對稱：假設函數關於yb對稱，即關於任一個x值，都有兩個y值與其對應，顯然這不符合函數的定義，故函數自身不可能關於yb對稱。但在曲線c（x,y）=0，則有可能會出現關於yb對稱，比如圓c（x,y）x2y240它會關於y=0對稱。

（4）複合函數的奇偶性的性質定理：

性質1、複數函數y＝f[g（x）]為偶函數，則f[g（－x）]＝f[g（x）]。複合函數y＝f[g（x）]為奇函數，則f[g（－x）]＝－f[g（x）]。

性質2、複合函數y＝f（x＋a）為偶函數，則f（x＋a）＝f（－x＋a）；複合函數y＝f（x＋a）為奇函數，則f（－x＋a）＝－f（a＋x）。

性質3、複合函數y＝f（x＋a）為偶函數，則y＝f（x）關於直線x＝a軸對稱。複合函數y＝f（x＋a）為奇函數，則y＝f（x）關於點（a,0）中心對稱。

總結：x的係數一個為1，一個為-1，相加除以2，可得對稱軸方程

總結：x的係數一個為1，一個為-1，f（x）整理成兩邊，其中一個的係數是為1，另一個為-1，存在對稱中心。

總結：x的係數同為為1，具有周期性。

（二）兩個函數的圖象對稱性

1、yf（x）與yf（x）關於X軸對稱。

證明：設yf（x）上任一點為（x1,y1）則y1f（x1），所以yf（x）經過點（x1,y1）

∵（x1,y1）與（x1,y1）關於X軸對稱，∴y1f（x1）與yf（x）關於X軸對稱.注：換種説法：yf（x）與yg（x）f（x）若滿足f（x）g（x），即它們關於y0對稱。