數學歸納法教學設計

作為一名老師，常常要根據教學需要編寫教學設計，教學設計是一個系統化規劃教學系統的過程。寫教學設計需要注意哪些格式呢？下面是小編收集整理的數學歸納法教學設計，供大家參考借鑑，希望可以幫助到有需要的朋友。

數學歸納法教學設計1

一、教材分析

數學歸納法是一種重要的數學證明方法，在高中數學內容中佔有重要的地位，其中體現的數學思想方法對學生進一步學習數學、領悟數學思想至關重要。本課是數學歸納法的第一節課，前面學生對等差數列、數列求和、二項式定理等知識有較全面的把握和較深入的理解，初步掌握了由有限多個特殊事例得出一般結論的推理方法，即不完全歸納法，這是研究數學問題，猜想或發現數學規律的重要手段。但是，由有限多個特殊事例得出的結論不一定正確，這種推理方法不能作為一種論證方法。因此，在不完全歸納法的基礎上，必須進一步學習嚴謹的科學的論證方法——數學歸納法，這是促進學生從有限思維發展到無限思維的一個重要環節，同時本節內容又是培養學生嚴密的推理能力、訓練學生的抽象思維能力、體驗數學內在美的好素材。

二、教學目標

學生通過數列等相關知識的學習，已經基本掌握了不完全歸納法，已經由一定的觀察、歸納、猜想能力。

根據教學內容特點和教學大綱，結合學生實際而制定以下教學目標：

1．知識目標

（1）瞭解由有限多個特殊事例得出的一般結論不一定正確。

（2）初步理解數學歸納法原理。

（3）能以遞推思想為指導，理解數學歸納法證明數學命題的兩個步驟一個結論。

（4）會用數學歸納法證明與正整數相關的簡單的恆等式。

2．能力目標

（1）通過對數學歸納法的學習，使學生初步掌握觀察、歸納、猜想、分析能力和嚴密的邏輯推理能力。

（2）在學習中培養學生大膽猜想，小心求證的辨證思維素質以及發現問題、提出問題的意識和數學交流的能力。

3．情感目標

（1）通過對數學歸納法原理的探究，親歷知識的構建過程，領悟其中所藴含的數學思想和辨正唯物主義觀點。

（2）體驗探索中挫折的艱辛和成功的快樂，感悟數學的內在美，激發學生學習熱情，使學生喜歡數學。

（3）學生通過置疑與探究，初步形成正確的數學觀，創新意識和嚴謹的科學精神。

三、教學重點與難點

1．教學重點

藉助具體實例瞭解數學歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運用它證明一些與正整數有關的簡單恆等式，特別要注意遞推步驟中歸納假設的運用和恆等變換的運用。

2．教學難點

（1）如何理解數學歸納法證題的嚴密性和有效性。

（2）遞推步驟中如何利用歸納假設，即如何利用假設證明當時結論正確。

四、教學方法

本節課採用交往性教學方法，以學生及其發展為本，一切從學生出發。在教師組織啟發下，通過創設問題情境，激發學習慾望。師生之間、學生之間共同探究多米諾骨牌倒下的原理，並類比多米諾骨牌倒下的原理，探究數學歸納法的原理、步驟；培養學生歸納、類比推理的能力，進而應用數學歸納法，證明一些與正整數n有關的簡單數學命題；提高學生的應用能力，分析問題、解決問題的能力。既重視教師的組織引導，又強調學生的.主體性、主動性、交流性和合作性。

五、教學過程

（一）創設情境，提出問題

情境一：根據觀察某學校第一個到校的女同學，第二個到校的也是女同學，第三個到校的還是女同學，於是得出：這所學校的學生全部是女同學。

情境二：平面內三角形內角和是，四邊形內角和是，五邊形內角和是，於是得出：凸邊形內角和是。

情境三：數列的通項公式為，可以求得，，，，於是猜想出數列的通項公式為。

結論：運用有限多個特殊事例得出的一般性結論，即不完全歸納法不一定正確。因此它不

能作為一種論證的方法。

提出問題：如何尋找一個科學有效的方法證明結論的正確性呢？我們本節課所要學習的數

學歸納法就是解決這一問題的方法之一。

（二）實驗演示，探索解決問題的方法

1．幾何畫板演示動畫多米諾骨牌遊戲，師生共同探討：要讓這些骨牌全部倒下，必

須具備那些條件呢？（學生可以討論，加以教師點撥）

①第一塊骨牌必須倒下。

②兩塊連續的骨牌，當前一塊倒下，後面一塊必須倒下。

（啟發學生轉換成數學符號語言：當第塊倒下，則第塊必須倒下）

教師總結：數學歸納法的原理就如同多米諾骨牌一樣。

2．學生類比多米諾骨牌原理，探究出證明有關正整數命題的方法，從而導出本課的重心：數學歸納法的原理及其證明的兩個步驟。（給學生思考的時間，教師提問，學生回答，教師補充完善，對學生的回答給予肯定和鼓勵）

數學歸納法公理：（板書）

（1）（遞推基礎）當取第一個值（例如等）結論正確；

（2）（遞推歸納）假設當時結論正確；（歸納假設）

證明當時結論也正確。（歸納證明）

那麼，命題對於從開始的所有正整數都成立。

教師總結：步驟（1）是數學歸納法的基礎，步驟（2）建立了遞推過程，兩者缺一不

可，這就是數學歸納法。

（三）遷移應用，理解昇華

例1：用數學歸納法證明：等差數列中，為首項，為公差，則通項公式為.①

選題意圖：讓學生注意：①數學歸納法是一種完全歸納的證明方法，它適用於與正整數有關的問題；

②兩個步驟，一個結論缺一不可，否則結論不成立；

③在證明遞推步驟時，必須使用歸納假設，必須進行恆等變換。

此時學生心中已有一個初步的證明模式，教師應該規範板書，給學生提供一個示範。

證明：（1）當時，等式左邊，等式右邊，等式①成立.

（2）假設當時等式①成立，即有

那麼，當時，有所以當時等式①也成立。

根據（1）和（2），可知對任何，等式①都成立。

例2：用數學歸納法證明：當時

選題意圖：通過師生共同活動，使學生進一步熟悉數學歸納法證題的兩個步驟和一個結論。

例3：用數學歸納法證明：當時

選題意圖：①進一步讓學生理解數學歸納法的嚴密性和合理性，從而從感性認識上升為理性認識；

②掌握從到時等式左邊的變化情況，合理的進行添項、拆項、合併項等。

（四）反饋練習，鞏固提高

課堂練習：用數學歸納法證明：當時

（練習讓學生獨立完成，上黑板板演，要求書寫工整，步驟完整，表述清楚，如果發現學

生證明過程中的錯誤，教師及時糾正、剖析，同時對學生板演好的方面予以肯定和鼓勵。）

教師總結：利用數學歸納法證明和正整數相關的命題時，要注意以下三句話：遞推基礎不

可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉。

（五）反思總結

學生思考後，教師提問，讓同學相互補充完善，教師最後總結，這一環節可以培養學

生抽象、歸納、概括、總結的能力，同時教師也可以及時瞭解學生的掌握情況，以便彌補和及時調整下節課的教學方向。

小結：（1）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分完全歸納法和不完全歸納法兩種，

而不完全歸納法得出的結論不具有可靠性，必須用數學歸納法進行嚴格證明；

（2）數學歸納法作為一種證明方法，用於證明一些與正整數n有關數學命題，它的基本思想是遞推思想，它的證明過程必須是兩步，最後還有結論，缺一不可；

（3）遞推歸納時從到，必須用到歸納假設，並進行適當的恆等變換。

（六）作業佈置

選修2－2習題2.3第1題第2題

數學歸納法教學設計2

一、關於教學目標設計：

根據本節內容的作用、地位以及學生的具體情況，我把這節課的教學目標分為以下三個子目標：

知識目標： 理解數學歸納法的原理和本質；掌握數學歸納法證題的兩個步驟；會用“數學歸納法”證明簡單的恆等式。

能力目標：培養學生觀察、分析、論證能力，進一步發展學生的抽象思維能力和創新能力。

情感目標：創設一種愉悦情境，使學生處於積極思考、大膽質疑氛圍，提高學生學習的興趣和課堂效率，激發學生學習潛能。

在情感目標的設計上我頗費一番心思。因為情感目標是無法定量評價的，對情感目標的考察是一個綜合多方面情況的長期的過程。究竟一堂課是否達到了它應給予的情感體驗，別説評價者，就是作為教學對象的學生本身，也不會像學會公式、定理的應用那樣，明確自己所得。所以，情感目標就很容易變成一種擺設，甚至只是教案上的一種點綴，在教學過程中被置於從屬或可有可無的地位。然而，當前我國的教改的實踐主要是素質教育，究其本質是對完整健全人格的追求與培養，即強調教育的人文精神，凸現教育主體的人格特徵。我們的教學對象不僅是一個被動的認知體，更重要、更本質的是活生生的生命體。因此我們在課堂教學中必須確立這種人文觀，明確情感目標確立的重要性，由傳授知識向情感培養延伸。

數學歸納法的知識內容有其獨特性，我通過講小故事、學生動手擺多米諾骨牌遊戲、做評判者為別人糾錯等手段創設一種愉悦情境，使學生處於積極思考、大膽質疑氛圍，力爭做到提高學生學習的興趣，激發學生學習潛能。

二、關於學生學習情況分析及教學重、難點的設計

學生在學習本節課之前，已經學習了用歸納法推導等差數列、等比數列的通項公式，但其正確性還有待用數學歸納法加以證明，因此數學歸納法學習是數列知識的深入與擴展。它既是高中代數中的一個重點和難點內容，也是一種重要的數學方法。學生在學習數列求通項時，也已經具備一定的歸納、猜測能力，多數同學對數學的學習有相當的興趣和積極性。但在探究問題的能力、合作交流的意識等方面發展不夠均衡，尚有侍加強。為了避免機械套用數學歸納法證題的兩個步驟，造成學生思維的墮性及僵化，因而我把分析數學歸納法的原理和實質作為本節課的重點，考慮學生對第二步中的遞推思想感到困難，因此把正確理解第二步中的遞推思想作為難點。

三、教學過程反思：

1) 課開始，情趣生；

數學歸納法是高中數學教學的重點和難點之一，新課引入之前，為讓學生懂得不完全歸納法的不完備性，明確學習數學歸納法的重要性及喚起學習的熱情，我先講了一則民間小故事：地主兒子識字。大意是：地主花重金請了一名先生教兒子識字，第一天學了“一”，第二

天學了“二”，之後，地主兒子想：“一”是一橫，“二”是二橫，那“三”肯定是三橫，第三天果不其然是三橫，於是地主兒子對地主説：不必學了，很簡單，已經全會了。地主大喜，為吹噓兒子聰明，大擺宴席。席間，一鄉紳想討好地主，就説讓地主兒子給他寫個名帖，沒想到這讓地主兒子出盡了洋相，因為那位鄉紳的名字叫“萬百千”。講到這裏學生大笑，笑聲中明確了，不完全歸納法是不可靠的，同時激起對“數學歸納法”的廬山真面目的好奇，渴望一探究竟。教師通過故事渲染氣氛，激發學生的求知慾望，消除潛在的心理負擔，使教與學有良好的匹配。

2) 課進行，情趣濃；

新課是從讓學生玩多米諾骨牌遊戲開始的。我準備了一些軍棋子，讓學生動手擺放，並完成遊戲。然後提出問題：多米諾骨牌遊戲成功對骨牌的擺放與操作有什麼要求？學生思考討論，得出多米諾骨牌遊戲成功依賴兩個條件

第一步：第一張牌被推倒，

第二步：假若前一張牌被推倒，則後一張牌被推倒。

其中第二步用到的就是遞推關係，如此通過動手、動腦，及動畫演示等形象展示遞推關係，為教學難點突破提供直觀的的參照物，作感性上的突變，從而分解數學歸納法的一個難點。然後適時給出數學歸納法的定義及步驟。由於學生始終走在一條充滿輕鬆、愉悦的學習道路上，歸納原理很容易被學生所接受。

例題的證明過程中，在第二題等差數列的通項公式的證明中，學生在證n=k+1命題成立這步時出現利用結論證結論，不用歸納假設的問題。這也是數學歸納法中最常見的問題。於是，我再一次結合多米諾骨牌遊戲，明確第k+1張骨牌是要被第k張骨牌推倒，才是符合遊戲規則的。因而在應用數學歸納法證明中，一定做到讓歸納假設“粉墨登場”，有它的參與證得的n=k+1時的成立才建立了遞推關係即邏輯推理鏈，實現了在驗證命題n=n0正確的基礎上, 利用命題本身具有傳遞性，運用“有限”的手段來解決“無限”的問題。

緊接着，我設計了兩個糾錯的題，

a) 小明認為下面的一個結論是正確的,且給出了證明,你認為這裏有無錯誤呢?

1+3+5+……+(2n-1)=n2 +1 （n∈N ）

證明:假設n=k(k∈N ,k≥1)時等式成立,即：

1+3+5+……+(2k-1)=k2 +1，

當n=k+1時由假設得：

1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)= k2+1+2k+1=(k+1)2 +1，

所以當n=k+1時等式也成立。可知，對n∈N ，原等式都成立。

b) 用數學歸納法證明 :

1+3+5+……+(2n-1)=n2 （n∈N ）.

下面是小強同學的證法, 你認為他做得對嗎? 請説明理由.

證明：①當n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立。

②假設n=k(k∈N ,k≥1)時等式成立,即：

1+3+5+……+(2k-1)=k2，

當n=k+1時由等差數列前項和公式得：

1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1) = =(k+1)2，

所以當n=k+1時等式也成立。

由①和②可知，對n∈N ，原等式都成立。

這樣安排的目的是讓學生進一步領會數學歸納法的原理和實質

3）課結束，情趣存

這節課的小結是以“提出問題”的方式進行的，我設計以下問題並和學生共同討論回答。 I. 數學歸納法是怎樣運作的？

（在驗證命題n=n0正確的基礎上,證明命題據有傳遞性,形成了邏輯推理鏈，以一次邏輯的推理代替了無限的驗證過程.）

II. 數學歸納法適用於證明什麼樣的的.命題? （數學歸納法適用於證明：和正整數有關的命題。）

III. 數學歸納法基本思想是什麼？

（在可靠的基礎上利用命題本身具有傳遞性,運用“有限”的手段來解決“無限”的問題。） IV. 應用數學歸納法證明命題所依據的自然數的性質是什麼？

（自然數集的任一非空子集都有最小數。）

V. 應用數學歸納法證明問題時要注意什麼？

（遞推基礎要打牢, 遞推依據不能少, 歸納假設要用到。）

由於這些問題都是關於數學歸納法實質及原理的內容，對初次接觸數學歸納法的學生來説，回答起來比較困難。為此我在課件的處理上運用了漫畫的手法，設計這樣一個場景：將這些問題由一名兒童提出來的，旁邊坐着他的老師，他在向老師求教。這樣，就把我的學生置身於旁觀者的角度，減輕了因接受提問所帶來的壓力。而畫面上又是一個小孩子在向長者求教，這使得學生潛意識裏增強一種自信，認為小孩子的問題終歸會知道一二的。於是熱情並渴望表現的學生們便積極展示觀點、暢所欲言。

我這樣做的目的是希望瞭解學生經過這堂課的學習，對數學歸納法原理和實質究竟有怎樣的認識，哪些是正確的，哪些是錯誤的，還有哪些是需要接下來課程中補足的。對錯誤的認識，我會立即幫助糾正。而對正確的，即便現在還很朦朧我也並不急於點破主題，讓學生在接下來的“數學歸納法的應用”的課上再加深認識，進行自我完善。我相信：已經除去雜草的莊稼，必定會茁壯成長的。

然而，從這堂課的實踐結果上看，這個環節並不是想象中這樣理想，原因有兩方面，一個使我有些急，怕時間不夠而沒有放開讓學生髮表意見，越俎代庖。另外一個就是學生也拘泥於是一堂錄像課，吃不準的觀點便不像平時那樣毫無顧忌的説出來。這也是促使我着急的一個原因。沒想到，最後還剩餘了一點時間，只好做做練習。總之，在這點上我還需要再進一步研究並改善。