等比數列的性質

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第2課時　等比數列的性質

知能目標解讀

1.結合等差數列的性質，瞭解等比數列的性質和由來.

2.理解等比數列的性質及應用.

3.掌握等比數列的性質並能綜合運用.

重點難點點撥

重點：等比數列性質的運用.

難點：等比數列與等差數列的綜合應用.

學習方法指導

1.在等比數列中，我們隨意取出連續三項及以上的數，把它們重新依次看成一個新的數列，則此數列仍為等比數列，這是因為隨意取出連續三項及以上的數，則以取得的第一個數為首項，且仍滿足從第2項起，每一項與它的前一項的比都是同一個常數，且這個常數量仍為原數列的公比，所以，新形成的數列仍為等比數列.

2.在等比數列中，我們任取下角標成等差的三項及以上的數，按原數列的先後順序排列所構成的數列仍是等比數列，簡言之：下角標成等差，項成等比.我們不妨設從等比數列{an}中依次取出的數為ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,…,則 = = =…=qm(q為原等比數列的公比)，所以此數列成等比數列.

3.如果數列{an}是等比數列，公比為q,c是不等於零的常數，那麼數列{can}仍是等比數列，且公比仍為q;?{|an|}?也是等比，且公比為|q|.我們可以設數列{an}的公比為q,且滿足 =q,則 = =q,所以數列{can}仍是等比數列，公比為q.同理，可證{|an|}也是等比數列，公比為|q|.

4.在等比數列{an}中，若m+n=t+s且m,n,t,s∈N+則aman=atas.理由如下：因為aman=a1qm-1•a1qn-1

=a21qm+n-2,atas=a1qt-1•a1qs-1=a21qt+s-2,又因為m+n=t+s,所以m+n-2=t+s-2,所以aman=atas.從此性質還可得到，項數確定的等比數列，距離首末兩端相等的兩項之積等於首末兩項之積.

5.若{an}，{bn}均為等比數列，公比分別為q1,q2,則

(1){anbn}仍為等比數列，且公比為q1q2.

(2) { }仍為等比數列，且公比為 .

理由如下：(1) =q1q2,所以{anbn}仍為等比數列，且公比為q1q2;(2) • = ,

所以{ }仍為等比數列，且公比為 .

知能自主梳理

1.等比數列的項與序號的關係

(1)兩項關係

通項公式的推廣：

an=am• (m、n∈N+).

(2)多項關係

項的運算性質

若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，

則am•an= .

特別地，若m+n=2p(m、n、p∈N+)，

則am•an= .

2.等比數列的項的對稱性

有窮等比數列中，與首末兩項“等距離”的兩項之積等於首末兩項的積(若有中間項則等於中間項的`平方)，即 a1•an=a2• =ak• =a 2 (n為正奇數).

[答案]　-m　ap•aq　a2p

-1　an-k+1

思路方法技巧

命題方向　運用等比數列性質an=am•qn-m (m、n∈N+)解題

[例1]　在等比數列{an}中，若a2=2,a6=162,求a10.

[分析]　解答本題可充分利用等比數列的性質及通項公式，求得q,再求a10.

[解析]　解法一：設公比為q,由題意得

a1q=2 a1= a1=-

，解得 ，或 .

a1q5=162 q=3 q=-3

∴a10=a1q9= ×39=13122或a10=a1q9=- ×(-3)9=13122.

解法二：∵a6=a2q4,

∴q4= = =81,

∴a10=a6q4=162×81=13122.

解法三：在等比數列中，由a26=a2•a10得

a10= = =13122.

[説明]　比較上述三種解法，可看出解法二、解法三利用等比數列的性質求解，使問題變得簡單、明瞭，因此要熟練掌握等比數列的性質，在解有關等比數列的問題時，要注意等比數列性質的應用.

變式應用1　已知數列{an}是各項為正的等比數列，且q≠1,試比較a1+a8與a4+a5的大小.

[解析]　解法一：由已知條件a1>0,q>0，且q≠1,這時

(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)•(1-q4)

=a1(1-q) 2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)>0,

顯然，a1+a8>a4+a5.

解法二：利用等比數列的性質求解.

由於(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)

=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).

當0<q<1時，此正數等比數列單調遞減，1-q3與a1-a5同為正數，< p="">

當q>1時，此正數等比數列單調遞增，1-q3與a1-a5同為負數，

∵(a1+a8)-(a4+a5)恆正.

∴a1+a8>a4+a5.

命題方向　運用等比數列性質am•an=apaq(m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q)解題

[例2]　在等比數列{an}中，已知a7•a12=5，則a8•a9•a10•a11=(　　)

A.10　　　　　　　　B.25　　　　　　　　C.50　　　　　　　　D.75

[分析]　已知等比數列中兩項的積的問題，常常離不開等比數列的性質，用等比數列的性質會大大簡化運算過程.

[答案]　B

[解析]　解法一：∵a7•a12=a8•a11=a9•a10=5，∴a8•a9•a10•a11=52=25.

解法二：由已知得a1q6•a1q11=a21q17=5，

∴a8•a9•a10•a11=a1q7•a1q8•a1q9•a1q10=a41•q34=(a21q17) 2=25.

[説明]　在等比數列的有關運算中，常常涉及次數較高的指數運算，若按照常規解法，往往是建立a1,q的方程組，這樣解起來很麻煩，為此我們經常結合等比數列的性質，進行整體變換，會起到化繁為簡的效果.

變式應用2　在等比數列{an}中，各項均為正數，且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,求a4+a8.

[解析]　∵a6a10=a28,a3a5=a24,∴a28+a24=41.

又∵a4a8=5,an>0,

∴a4+a8= = = .

探索延拓創新

命題方向　等比數列性質的綜合應用

[例3]　試判斷能否構成一個等比數列{an}，使其滿足下列三個條件：

①a1+a6=11;②a3•a4= ;③至少存在一個自然數m,使 am-1,am,am+1+ 依次成等差數列，若能，請寫出這個數列的通項公式;若不能，請説明理由.

[分析]　由①②條件確定等比數列{an}的通項公式，再驗證是否符合條件③.

[解析]　假設能夠構造出符合條件①②的等比數列{an},不妨設數列{an}的公比為q,由條件①②及a1•a6=a3•a4,得

a1+a6=11　　　　　 a1= a1=

，解得 ，或

a1•a6= a6= a6= .

a1= a1=

從而 ，或 .

q=2 q=

故所求數列的通項為an= •2n-1或an= •26-n.

對於an= •2n-1,若存在題設要求的m,則

2am= am-1+(am+1+ ),得

2( •2m-1)= • •2m-2+ •2m+ ,得

2m+8=0,即2m=-8,故符合條件的m不存在.

對於an= •26-n,若存在題設要求的m，同理有

26-m-8=0,即26-m=8,∴m=3.

綜上所述，能夠構造出滿足條件①②③的等比數列，通項為an= •26-n.

[説明]　求解數列問題時應注意方程思想在解題中的應用.

變式應用3　在等差數列{an}中，公差d≠0,a2是a1與a4的等比中項，已知數列a1,a3,ak1,ak2,…,akn,……成等比數列，求數列{kn}的通項kn.

[解析]　由題意得a22=a1a4，

即(a1+d) 2=a1(a1+3d)，

又d≠0,∴a1=d.

∴an=nd.

又a1,a3,ak1,ak2,……,akn,……成等比數列，

∴該數列的公比為q= = =3.

∴akn=a1•3n+1.

又akn=knd,∴kn=3n+1.

所以數列{kn}的通項為kn=3n+1.

名師辨誤做答

[例4]　四個實數成等比數列，且前三項之積為1，後三項之和為1 ，求這個等比數列的公比.

[誤解]　設這四個數為aq-3,aq-1,aq,aq3,由題意得

a3q-3=1, ①

aq-1+aq+aq3=1 . ②

由①得a=q,把a=q代入②並整理，得4q4+4q2-3=0,解得q2= 或q2=- (捨去)，故所求的公比為 .

[辨析]　上述解法中，四個數成等比數列，設其公比為q2,則公比為正數，但題設並無此條件，因此導致結果有誤.

[正解]　設四個數依次為a,aq,aq2,aq3,由題意得

(aq)3=1,　　 　 ①

aq+aq2+aq3=1 .　②

由①得a=q-1,把a=q-1代入②並整理，得4q2+4q-3=0,解得q= 或q=- ,故所求公比為 或- .

課堂鞏固訓練

一、選擇題

1.在等比數列{an｝中，若 a6=6,a9=9,則a3等於(　　)

A.4　　　　　　　　　B. 　　　　　　　C. 　　　　　　　　D.3?

[答案]　A?

[解析]　解法一：∵a6=a3•q3,

∴a3•q3=6.?

a9=a6•q3，

∴q3= = .

∴a3= =6× =4.

解法二：由等比數列的性質，得

a26=a3•a9，

∴36=9a3，∴a3=4.

2.在等比數列{an｝中,a4+a5=10,a6+a7=20,則a8+a9等於(　　)

A.90　　　　　　　　B.30　　　　　　　　C.70　　　　　　　　　　D.40

[答案]　D

[解析]　∵q2= =2,?

∴a8+a9=(a6+a7)q2=20q2=40.

3.如果數列{an｝是等比數列，那麼(　　)?

A.數列{a2n｝是等比數列　　　　　　　　　B.數列{2an｝是等比數列

C.數列{lgan｝是等比數列　　　　　　　　 D.數列{nan｝是等比數列

[答案]　A

[解析]　數列{a2n｝是等比數列，公比為q2,故選A.

二、填空題

4.若a,b,c既成等差數列，又成等比數列，則它們的公比為 .?

[答案]　1?

2b=a+c,

[解析]　由題意知

b2=ac,

解得a=b=c,∴q=1.

5.在等比數列{an｝中，公比q=2,a5=6,則a8= .?

[答案]　48

[解析]　a8=a5•q8-5=6×23=48.

三、解答題

6.已知{an}為等比數列，且a1a9=64,a3+a7=20，求a11.?

[解析]　∵{an}為等比數列,?

∴a1•a9=a3•a7=64,又a3+a7=20,?

∴a3,a7是方程t2-20t+64=0的兩個根.?

∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4,?

當a3=4時，a3+a7=a3+a3q4=20,?

∴1+q4=5，∴q4=4.?

當a3=16時，a3+a7=a3(1+q4)=20,

∴1+q4= ，∴q4= .?

∴a11=a1q10=a3q8=64或1.

課後強化作業

一、選擇題

1.在等比數列{an}中，a4=6,a8=18,則a12=(　　)

A.24　　　　　　　　B.30　　　　　　　　C.54　　　　　　　　D.108?

[答案]　C?

[解析]　∵a8=a4q4,∴q4= = =3,

∴a12=a8•q4=54.

2.在等比數列{an｝中，a3=2-a2,a5=16-a4,則a6+a7的值為(　　)

A.124　　　　　　　　B.128　　　　　　　C.130　　　　　　　D.132

[答案]　B?

[解析]　∵a2+a3=2,a4+a5=16,?

又a4+a5=(a2+a3)q2,

∴q2=8.?

∴a6+a7=(a4+a5)q2=16×8=128.

3.已知{an｝為等比數列，且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那麼a3+a5等於(　　)

A.5　　　　　　　　　B.10　　　　　　　　C.15　　　　　　　D.20?

[答案]　A?

[解析]　∵a32=a2a4,a52=a4a6,?

∴a32+2a3a5+a52=25,

∴(a3+a5) 2=25,?

又∵an>0,∴a3+a5=5.

4.在正項等比數列{an｝中，a1和a19為方程x2-10x+16=0的兩根，則a8•a10•a12等於(　　)

A.16　　　　　　　　B.32　　　　　　　　C.64　　　　　　　D.256?

[答案]　C?

[解析]　由已知，得a1a19=16,?

又∵a1•a19=a8•a12=a102,

∴a8•a12=a102=16,又an>0,?

∴a10=4,

∴a8•a10•a12=a103=64.

5.已知等比數列{an}的公比為正數，且a3•a9=2a25,a2=1,則a1=(　　)?

A. 　　　　　　　B. 　　　　　　　C. 　　　　　　　D.2?

[答案]　B?

[解析]　∵a3•a9=a26,又∵a3a9=2a25,?

∴a26=2a25,∴( )2=2,?

∴q2=2,∵q>0,∴q= .

又a2=1,∴a1= = = .

6.在等比數列{an｝中，an>an+1，且a7•a11=6,a4+a14=5,則 等於(　　)

A. 　　　　　　 　B. 　　　　　 　　C. 　　　　　 　　　D.6

[答案]　A

a7•a11=a4•a14=6

[解析]　∵

a4+a14=5

a4=3 a4=2

解得 或 .

a14=2 a14=3

又∵an>an+1,∴a4=3,a14=2.

∴ = = .

7.已知等比數列{an｝中，有a3a11=4a7,數列{bn｝是等差數列，且b7=a7,則b5+b9等於(　　)

A.2　　　　　　　　　B.4　　　　　　　　C.8　　　　　　　　D.16

[答案]　C

[解析]　∵a3a11=a72=4a7,∵a7≠0,

∴a7=4,∴b7=4,

∵{bn}為等差數列，∴b5+b9=2b7=8.

8.已知0<a<b<c,且a,b,c成等比數列的整數，n為大於1的整數，則logan,logbn,logcn成< p="">

(　　)

A.等差數列?　　　　　　　　　　　　　　B.等比數列?

C.各項倒數成等差數列?　　　　　　　　　D.以上都不對?

[答案]　C?

[解析]　∵a,b,c成等比數列，∴b2=ac.?

又∵ + =logna+lognc=lognac

=2lognb= ,?

∴ + = .

二、填空題

9.等比數列{an｝中，an>0，且a2=1+a1,a4=9+a3,則a5-a4等於 .

[答案]　27

[解析]　由題意，得a2-a1=1,a4-a3=(a2-a1)q2=9,

∴q2=9,又an>0,∴q=3.?

故a5-a4=(a4-a3)q=9×3=27.

10.已知等比數列{an｝的公比q=- ,則 等於 .

[答案]　-3

[解析]　 =

= =-3.

11.(2012•株州高二期末)等比數列{an}中，an>0,且a5•a6=9,則log3a2+log3a9= .

[答案]　2

[解析]　∵an>0,∴log3a2+log3a9=log3a2a9

=log3a5a6=log39=log332=2.

12.(2011•廣東文，11)已知{an｝是遞增等比數列,a2=2,a4-a3=4,則此數列的公比q= 　.

[答案]　2?

[解析]　本題主要考查等比數列的基本公式，利用等比數列的通項公式可解得.

解析：a4-a3=a2q2-a2q=4，?

因為a2=2，所以q2-q-2=0，解得q=-1，或q=2.

因為an為遞增數列，所以q=2.

三、解答題

13.在等比數列{an｝中，已知a4•a7=-512,a3+a8=124,且公比為整數，求a10.

[解析]　∵a4•a7=a3•a8=-512，

a3+a8=124 a3=-4 a3=128

∴ ，解得 或 .

a3•a8=-512 a8=128 a8=-4

又公比為整數，

∴a3=-4,a8=128,q=-2.

∴a10=a3•q7=(-4)×(-2)7=512.

14.設{an｝是各項均為正數的等比數列，bn=log2an，若b1+b2+b3=3,b1•b2•b3=-3,求此等比數列的通項公式an.?

[解析]　由b1+b2+b3=3,?

得log2(a1•a2•a3)=3，

∴a1•a2•a3=23=8，

∵a22=a1•a3，∴a2=2,又b1•b2•b3=-3,

設等比數列{an｝的公比為q，得?

log2( )•log2(2q)=-3.

解得q=4或 ，

∴所求等比數列{an｝的通項公式為

an=a2•qn-2=22n-3或an=25-2n.

15.某工廠2010年生產某種機器零件100萬件，計劃到2012年把產量提高到每年生產121萬件.如果每一年比上一年增長的百分率相同，這個百分率是多少?2011年生產這種零件多少萬件?.

[解析]　設每一年比上一年增長的百分率為x,則從2010年起，連續3年的產量依次為a1=100,a2=a1(1+x),a3=a2(1+x),即a1=100,a2=100(1+x),a3=100(1+x) 2,成等比數列.

由100(1+x) 2=121得(1+x) 2=1.21,

∴1+x=1.1或1+x=-1.1,?

∴x=0.1或x=-2.1(捨去)，?

a2=100(1+x)=110(萬件)，?

所以每年增長的百分率為10%，2011年生產這種零件110萬件.

16.等差數列{an}中，a4=10，且a3,a6,a10成等比數列.求數列{an}前20項的和S20.

[解析]　設數列{an}的公差為d，則a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d.

由a3,a6,a10成等比數列得a3a10=a26，?

即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2,?

整理得10d2-10d=0,解得d=0或d=1.

當d=0時，S20=20a4=200，?

當d=1時，a1=a4-3d=10-3×1=7,?

於是，S20=20a1+ d=20×7+190=330.