大學聯考數列題

第一篇:《20xx年大學聯考數列試題彙編》

1（北京理）設{an}是公比為q的等比數列，則"q1"是"{an}"為遞增數列的（ ）

A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件 C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2（大綱理）等比數列{an}中，a4A．6 B．5 C．4 D．3 3（全國文）等差數列?2,a5?5，則數列{lgan}的前8項和等於（ ）

?an?的公差為2，若a2，a4，a8成等比數列，則?an?的前n項和sn=n?n?1?2(D)

（A） n?n?1? （B）n?n?1? （C）n?n?1?2

4（重慶理）對任意等比數列{an},下列説法一定正確的是（ ）

A.a1,a3,a9成等比數列 B.a2,a3,a6成等比數列C.a2,a4,a8成等比數列 D.a3,a6,a9成等比數列

5（重慶文）在等差數列{an}中,a1?2,a3?a5?10，則a7?（ ）

A.5 B.8 C.10 D.14

6（大綱文）設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S2A．31 B．32 C．63 D．64 ?3,S4?15,則S6?（ ）

2014年大學聯考數列試題彙編—填空題

1（廣東文） 等比數列＝ .?an?的各項均為正數且a1a5?4，log2a1?log2a2?log2a3?log2a4?log2a51?a?a1?an

2（全國文）數列n滿足n?1=

3（北京理）若等差數列項和最大.

4（天津理）設，a2=2，則a1=_________.?an?滿足a7?a8?a9?0，a7?a10?0，則當n?________時?an?的前n{an}是首項為a1，公差為-1的等差數列，Sn為其前n項和.若S1,S2,S4成等比數列，則a1的值為__________.

5（江西文）在等差數列?an?中，a1?7，公差為d，前n項和為Sn，當且僅當n?8時Sn取最大值，則d的取值範圍_________.

20xx年大學聯考數列試題彙編—解答題（1）

1（重慶文）已知?an?是首相為1，公差為2的等差數列，Sn表示?an?的前n項和.（I）求an及Sn；（II）設?bn?是首相為2的等比數列，公比q滿足q2??a4?1?q?S4?0，求?bn?的通項公式及其前n項和Tn.

2 （山東文）在等差數列{an}中，已知公差a1?2，a2是a1與a4的等比中項.（Ｉ）求數列（II）設bn?an(n?1)，記Tn??b1?b2?b3?b4?…?(?1)nbn，求Tn. {an}的通項公式；

2

3. （大綱理）等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a1?10，a2為整數，且Sn?S4. （1）求{an}的通項公式；（2）設bn?

4（大綱文）數列{an}滿足a1?2,a2?2,an?2?2an?1?an?2.（1）設bn?an?1?an，證明（2）求{an}的通項公式. {bn}是等差數列；1，求數列{bn}的前n項和Tn. anan?1

20xx年大學聯考數列試題彙編—解答題（2）

1（課標文）已知?an?是遞增的等差數列，a2，a4是方程x?5x?6?0的根。

2（I）求?an?的通項公式；（II）求數列??an?的前n項和. n?2??

2（北京文）已知?an?是等差數列，滿足a1?3，a4?12，數列?bn?滿足b1?4，b4?20，且?bn?an?是等比數列.（1）求數列?an?和?bn?的通項公式；（2）求數列?bn?的前n項和.

3、（江西理）已知首項都是1的兩個數列.（1）令求數列的前n項和.，求數列（的通項公式；（2）若滿足3n2?n，n?N?.（1）求數列?an?的通項公式；

4（江西文）已知數列?an?的前n項和Sn? 2（2） 證明：對任意n?1，都有m?N，使得a1，an，am成等比數列.?

5（四川理）設等差數列{an}的公差為d，點(an,bn)在函數f(x)?2的圖象上（n?N*）。（1）若a1??2，點(a8,4b7)在函數f(x)的圖象上，求數列{an}的前n項和Sn；（2）若xa1?1，函數f(x)的圖象在點(a2,b2)處的切線在x軸上的截距為2?前n項和Tn。a1，求數列{n}的ln2bn

20xx年大學聯考數列試題彙編—解答題（3）

1、(四川文) 設等差數列{an}的公差為d，點(an,b)（n?N）。 n在函數f(x)?2的圖象上（Ⅰ）證明：數列{bn}為等比數列；（Ⅱ）若a1?1，函數f(x)的圖象在點(a2,b2)處的切線在x軸上的截距為2?

2．（廣東理）設數列?an?的前n和為Sn,滿足Sn?2nan?1?3n?4n,n?N，且S3?15， (1)求a1,a2,a3的值;(2)求數列?an?的通項公式。

2

*

x

?

12，求數列{anbn}的前n項和Sn。 ln2

3. (廣東文)設各項為正數的數列?an?的前n和為Sn,且Sn滿足2?(n2?n?3)Sn?3(n2?n)?0,n?N*（1）求a1的`值;（2）求數列?an?的通項公式; （3）證明:對一切正整數n,有

11??a1(a1?1)a2(a2?1)?

11?an(an?1)3

4（湖北理）已知等差數列通項公式.（2）記為數列滿足：=2，且a1，a2，a5成等比數列.（1）求數列的前n項和，是否存在正整數n，使得的若存在，求n的最小值；若不存在，説明理由.

5.（新課標理）已知數列?an?滿足a1=1，an?1?3an?1.（Ⅰ）證明an?是等比數列，?2?並求?an?的通項公式；（Ⅱ）證明：??…+?.12n

第二篇:《20xx數列理科大學聯考題答案》

1、[2014·福建卷] 等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，S3＝12，則a6等於( C )

A．8 B．10 C．12 D．14

2、[2014·遼寧卷] 設等差數列{an}的公差為d.若數列{2a1an}為遞減數列，則( C)

A．d<0 d="">0 C．a1d<0 a1d="">0

3、[2014·全國卷] 等比數列{an}中，a4＝2，a5＝5，則數列{lg an}的前8項和等於( C )

A．6 B．5 C．4 D．3

4、[2014·重慶卷] 對任意等比數列{an}，下列説法一定正確的是(D )

A．a1，a3，a9成等比數列

B．a2，a3，a6成等比數列 C．a2，a4，a8成等比數列 D．a3，a6，a9，成等比數列

5、[2014·安徽卷] 數列{an}是等差數列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5構成公比為q的等比數列，則q＝___1__.

6、[2014·北京卷] 若等差數列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當n＝___8___時，{an}的前n項和最大．

7、[2014·天津卷] 設{an}是首項為a1，公差為－1的等差數列，Sn為其前n項和．若S1，S2，S4成等比數列，則a1的值為__－2．

8、[2014·廣東卷] 若等比數列{an}的各項均為正數，且1a10a11＋a9a12＝2e5，則ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝___50__．

9、[2014·江西卷] 已知首項都是1的兩個數列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)滿足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.

(1)令cn＝{cn}的通項公式； (2)若bn＝3n－1，求數列{an}的前n項和Sn.

解：(1)因為anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，所以

an＋1a2，即cn＋1－cnbn＋1bn

anbn

＝2，

所以數列{cn}是以c1＝1為首項，d＝2為公差的等差數列，故cn＝2n－1.

－－

(2)由bn＝3n1，知an＝(2n－1)3n1，於是數列{an}的前n項和Sn＝1×30＋3×31＋5×32

＋…＋(2n－1)×3n1，3Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n1＋(2n－1)×3n，將兩式相減得

－

－2Sn＝1＋2×(31＋32＋…＋3n1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)×3n，

所以Sn＝(n－1)3n＋1.

－

－

10、[2014·新課標全國卷Ⅰ] 已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an≠0， anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數．

(1)證明：an＋2－an＝λ.

(2)是否存在λ，使得{an}為等差數列？並説明理由．

解：(1)證明：由題設，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1， 兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. 因為an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.

(2)由題設，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1， 由(1)知，a3＝λ＋1.

若{an}為等差數列，則2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4. 由此可得{a2n－1}是首項為1，公差為4的等差數列， a2n－1＝4n－3；

{a2n}是首項為3，公差為4的等差數列，a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.

因此存在λ＝4，使得數列{an}為等差數列．

11、[2014·新課標全國卷Ⅱ] 已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1.

?1?????是等比數列，並求{an}的通項公式； a＋(1)證明n

2????1113

(2)證明＋…＋a1a2an2

11

an＋. 解：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋13?2?2

1?13?313n

又a1＋，所以?an＋2是首項為3的等比數列，所以an＋＝，因此數

22222??

n

3－1

列{an}的通項公式為an＝.

212

(2)證明：由(1)知an3－1

－

因為當n≥1時，3n－1≥2×3n1，

11121所以－. －＝an3－133－12×3

13111113

1－<於是＋＋…＋≤1＋?a1a2an32?323

1113所以＋＋…＋<.

a1a2an2

*

12、[2014·重慶卷] 設a1＝1，an＋1a2n－2an＋2＋b(n∈N)．

(1)若b＝1，求a2，a3及數列{an}的通項公式．

(2)若b＝－1，問：是否存在實數c使得a2n(1)方法一：a2＝2，a3＝2＋1. 再由題設條件知

(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1.

從而{(an－1)2}是首項為0，公差為1的等差數列， 故(an－1)2＝n－1，即an＝n－1＋1(n∈N*)．

方法二：a2＝2，a32＋1.

可寫為a1＝1－1＋1，a22－1＋1，a3＝3－1＋1.因此猜想an＝n－1＋1. 下面用數學歸納法證明上式． 當n＝1時，結論顯然成立．

假設n＝k時結論成立，即akk－1＋1，則

ak＋1＝（ak－1）＋1＋1（k－1）＋1＋1＝（k＋1）－1＋1， 這就是説，當n＝k＋1時結論成立． 所以an＝n－1＋1(n∈N*)．

(2)方法一：設f(x)（x－1）＋1－1，則an＋1＝f(an)．

1

令c＝f(c)，即c（c－1）＋1－1，解得c＝.

4

下面用數學歸納法證明命題 a2n1

當n＝1時，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝2－1，所以a2<

4

假設n＝k時結論成立，即a2kf(1)＝a2，即 1>c>a2k＋2>a2.

再由f(x)在(－∞，1]上為減函數，得c＝f(c)

故c

1

綜上，存在 c＝a2n4方法二：設f(x)＝（x－1）＋1－1，則an＋1＝f(an)． 先證：0≤an≤1(n∈N*)． ① 當n＝1時，結論明顯成立．

假設n＝k時結論成立，即0≤ak≤1. 易知f(x)在(－∞，1]上為減函數，從而 0＝f(1)≤f(ak)≤f(0)＝2－1<1.

即0≤ak＋1≤1.這就是説，當n＝k＋1時結論成立．故①成立． 再證：a2n

當n＝1時，a2＝f(1)＝0，a3＝f(a2)＝f(0)＝2－1，所以a2

這就是説，當n＝k＋1時②成立．所以②對一切n∈N*成立． 由②得a2na2n－2a2n＋2－1，

2

即(a2n＋1)2

12014數列題,大學聯考

因此a2n. ③

4

又由①②及f(x)在(－∞，1]上為減函數，得f(a2n)>f(a2n＋1)，即a2n＋1>a2n＋2.

1

所以a2n＋1>a2n＋1－2a2n＋1＋2－1，解得a2n＋1 ④ 4

1

綜上，由②③④知存在c＝使a2n4

13、[2014·湖北卷] 已知等差數列{an}滿足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比數列．

(1)求數列{an}的通項公式．

(2)記Sn為數列{an}的前n項和，是否存在正整數n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，説明理由．

解：(1)設數列{an}的公差為d，

依題意得，2，2＋d，2＋4d成等比數列， 故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，

化簡得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4. 當d＝0時，an＝2；

當d＝4時，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2.

從而得數列{an}的通項公式為an＝2或an＝4n－2. (2)當an＝2時，Sn＝2n，顯然2n<60n＋800， sn="">60n＋800成立．

n[2＋（4n－2）]

當an＝4n－2時，Sn2n2.

2

令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0， 解得n>40或n<－10(捨去)，

此時存在正整數n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值為41. 綜上，當an＝2時，不存在滿足題意的正整數n；

當an＝4n－2時，存在滿足題意的正整數n，其最小值為41.

14、[2014·湖南卷] 已知數列{an}滿足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*.

(1)若{an}是遞增數列，且a1，2a2，3a3成等差數列，求p的值；

1

(2)若p＝，且{a2n－1}是遞增數列，{a2n}是遞減數列，求數列{an}的通項公

2

式．

解：(1)因為{an}是遞增數列，所以an＋1－an＝|an＋1－an|＝pn.而a1＝1，因此 a2＝p＋1，a3＝p2＋p＋1.又a1，2a2，3a3成等差數列，所以4a2＝a1＋3a3，因而3p2－p＝0，

1

解得pp＝0.

3

1

當p＝0時，an＋1＝an，這與{an}是遞增數列矛盾，故p＝3

(2)由於{a2n－1}是遞增數列，因而a2n＋1－a2n－1>0，於是(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)>0.①2014數列題,大學聯考

11

因為<－，所以|a2n＋1－a2n|<|a2n－a2n－1|.②

22

12n－1（－1）2n?由①②知，a2n－a2n－1>0，因此a2n－a2n－1＝?2＝③ 2＋

1?2n（－1）2n1?因為{a2n}是遞減數列，同理可得，a2n＋1－a2n<0，故a2n＋1－a2n＝－?2?＝.

2④

＋

（－1）n1

由③④可知，an＋1－an＝.

2（－1）n11

於是an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋－＋…＋＝1＋2221n－1?1－?－2n

141（－1）＋－213321＋

2

n

41（－1）

故數列{an}的通項公式為an＝. －

33215、[2014·全國卷] 等差數列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝10，a2為整數，且

Sn≤S4.

(1)求{an}的通項公式；

(2)設bn＝

1

anan＋12014數列題,大學聯考

{bn}的前n項和Tn.

解：(1)由a1＝10，a2為整數知，等差數列{an}的公差d為整數． 又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0， 於是10＋3d≥0，10＋4d≤0， 105解得－d

32

因此d＝－3.

故數列{an}的通項公式為an＝13－3n. (2)bn＝

11111

＝?10－3n13－3n.於是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝

3?（13－3n）（10－3n）3?

n?11?＋11＋…＋?11＝1?11?＝

?710?47?10－3n13－3n?3?10－3n10?10（10－3n）.

16、[2014·山東卷] 已知等差數列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數列．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)令bn＝(－1)n－1

4n

anan＋1

{bn}的前n項和Tn.

2×1

解： (1)因為S1＝a1，S2＝2a1＋2＝2a1＋2，

24×3

S4＝4a1＋2＝4a1＋12，

2

由題意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1， 所以an＝2n－1. (2)由題意可知， bn＝(－1)n＝(－1)n

－1

4n

anan＋1

－4n

（2n－1）（2n＋1）

11－

＝(－1)n12n－1＋2n＋1?.

??當n為偶數時，

11?11111

＋＋1＋－?＋＋…＋?Tn＝?－?3?35?2n－32n－1??2n－12n＋1? 1

＝1

2n＋1＝2n

2n＋1

當n為奇數時，

11??11111

＋1＋－?＋＋…－?Tn＝?＋2n－32n－12n－12n＋1 ?3?35????

第三篇:《20xx年大學聯考數列部分試題》

11．[2014·新課標全國卷Ⅱ] 數列{an}滿足an＋1＝，a＝2，則a1＝________． 1－an8

2．[2014·重慶卷] 在等差數列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，則a7＝( )

A．5 B．8 C．10 D．142014數列題,大學聯考

3．[2014·天津卷] 設{an}是首項為a1，公差為－1的等差數列，Sn為其前n項和．若S1，S2，S4成等比數

11列，則a1＝( ) A．2 B．－2 D．－ 22

4．[2014·江西卷] 在等差數列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項和為Sn，當且僅當n＝8時Sn取得最大值，則d的取值範圍為________．

5．[2014·遼寧卷] 設等差數列{an}的公差為d，若數列{2a1an}為遞減數列，則( )

A．d＞0 B．d＜0 C．a1d＞0 D．a1d＜0

6．[2014·新課標全國卷Ⅱ] 等差數列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數列，則{an}的前n項和Sn＝( )

n（n＋1）n（n－1）A．n(n＋1) B．n(n－1) C. D.22

7．[2014·廣東卷] 等比數列{an}的各項均為正數，且a1a5＝4，則log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．

8．[2014·江蘇卷] 在各項均為正數的等比數列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，則a6的值是________．

9．[2014·全國卷] 設等比數列{an}的前n項和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6＝( )

A．31 B．32 C．63 D．64

3n2－n8．[2014·江西卷] 已知數列{an}的前n項和Sn＝，n∈N*. 2

(1)求數列{an}的通項公式；(2)證明：對任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比數列． ．

9．[2014·北京卷] 已知{an}是等差數列，滿足a1＝3，a4＝12，數列{bn}滿足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}為

等比數列．(1)求數列{an}和{bn}的通項公式；(2)求數列{bn}的前n項和．

10．[2014·福建卷] 在等比數列{an}中，a2＝3，a5＝81.

(1)求an； (2)設bn＝log3an，求數列{bn}的前n項和Sn.

11．[2014·湖北卷] 已知等差數列{an}滿足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比數列．(1)求數列{an}的通項公式．

(2)記Sn為數列{an}的前n項和，是否存在正整數n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，説明理由．

n2＋n12．[2014·湖南卷] 已知數列{an}的前n項和Sn＝，n∈N*. 2

(1)求數列{an}的通項公式； (2)設bn＝2an＋(－1)nan，求數列{bn}的前2n項和．

13．[2014·全國卷] 數列{an}滿足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.

(1)設bn＝an＋1－an，證明{bn}是等差數列；(2)求{an}的通項公式．

14．[2014·全國新課標卷Ⅰ] 已知{an}是遞增的等差數列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．

?a?(1)求{an}的通項公式；(2)求數列?2?的前n項和． ??

19．[2014·山東卷] 在等差數列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1與a4的等比中項．

(1)求數列{an}的通項公式；(2)設bn＝an(n?1)，記Tm＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn.

2

20．[2014·陝西卷] △ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.

(1)若a，b，c成等差數列，證明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；

(2)若a，b，c成等比數列，且c＝2a，求cos B的值．

21．[2014·浙江卷] 已知等差數列{an}的公差d＞0.設{an}的前n項和為Sn，a1＝1，S2·S3＝36.

(1)求d及Sn； (2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.

22．[2014·重慶卷] 已知{an}是首項為1，公差為2的等差數列，Sn表示{an}的前n項和．

(1)求an及Sn；

(2)設{bn}是首項為2的等比數列，公比q滿足q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通項公式及其前n項和Tn.

23．[2014·安徽卷] 數列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.

?a?(1)證明：數列?n是等差數列； (2)設bn＝3n·an，求數列{bn}的前n項和Sn. ??