《完全平方數特徵》知識點總結

完全平方數特徵：

1.末位數字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。

2.除以3餘0或餘1;反之不成立。

3.除以4餘0或餘1;反之不成立。

4.約數個數為奇數;反之成立。

5.奇數的平方的十位數字為偶數;反之不成立。

6.奇數平方個位數字是奇數;偶數平方個位數字是偶數。

7.兩個相臨整數的平方之間不可能再有平方數。

平方差公式：X2-2=(X-)(X+)

完全平方和公式：(X+)2=X2+2X+2

完全平方差公式：(X-)2=X2-2X+2

經典例題：

例1、一個自然數減去45及加上44都仍是完全平方數，求此數。

解：設此自然數為x，依題意可得

x-45=^2................(1)

x+44=n^2................(2)(,n為自然數)

(2)-(1)可得 n^2-^2=89, (n+)(n-)=89

但89為質數，它的正因子只能是1與89，於是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數是1981。

例2、求證：四個連續的整數的積加上1，等於一個奇數的平方。

分析：設四個連續的整數為n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n為整數。欲證

n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇數的'平方，只需將它通過因式分解而變成一個奇數的平方即可。

證明：設這四個整數之積加上1為，則

=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2

而n(n+1)是兩個連續整數的積，所以是偶數;又因為2n+1是奇數，因而n(n+1)+2n+1是奇數。這就證明了是一個奇數的平方。